Categorías como monoides parciales

Hay varias definiciones equivalentes del concepto de categoría.

La que yo prefiero en términos generales es: tenemos una clase de objetos, y para cada par de objetos un hom-set: una clase de flechas entre dos objetos. Estos hom-sets son disjuntos, de manera que una flecha tiene un único dominio y un único codominio. Cuando el codominio de una flecha coincide con el dominio de otra, las podemos componer. Esta composición es asociativa. Además, para cada objeto tenemos una flecha identidad, y una identidad compuesta de algún lado con f resulta en f.

Hay otra muy común, usada e.g. en Mac Lane. Una categoría consiste de una clase de objetos y de una clase de flechas. Además se tienen funciones “dominio y codominio” que a cada flecha le asocian un cierto objeto. Tenemos una función parcial que toma dos flechas, y cuando el dominio de una coincide con el codominio de otra, devuelve otra flecha llamada su “composición”. Para cada objeto tenemos una flecha identidad, que si se puede componer con f de algún lado resulta en f.

(Recordar que una función parcial se define como una función, pero permitiendo que tan solo un subconjunto del dominio tenga definida una imagen.)

Con esta segunda definición se ve clarito que la clase de flechas de una categoría es casi un monoide. Está dotada de una operación, la composición, que es una función parcial, y que es asociativa y tiene neutros.

Esto último debe entenderse con cuidado, porque no significa que exista un neutro e tal que para toda flecha f se tenga fe=e=ef, sino que para toda flecha f existen flechas e, e' tales que ef=f=fe'. Esto resulta de que la composición no esté siempre definida.

En todo caso, ya vemos una posible manera en que una categoría generaliza a un monoide: permitiendo que la operación sea parcial, y por lo tanto que los neutros no sean únicos.

Otra cosa que podemos observar es que en una categoría la clase de objetos es redundante, por estar en biyección con las flechas identidad. Se suele incluir en la definición porque es mucho más sencillo y cercano a la experiencia cotidiana con categorías considerar objetos además de flechas.

Podemos dar entonces una tercera definición, que no considera objetos, y deja bien en evidencia que una categoría es un “monoide parcial”:

Una categoría consiste de una clase de flechas equipada con una operación parcial binaria \circ. Una flecha e es una identidad si cada vez que e\circ f o g\circ e están definidos se tiene que e\circ f=f y g\circ e=g. Debe cumplirse:
f\circ (g\circ h) está definido si y sólo si (f\circ g)\circ h está definido, si y sólo si f\circ g y g\circ h están definidos. En este caso, f\circ (g\circ h) = (f\circ g)\circ h.
– para toda flecha f existen identidades e,e' tales que ef y fe' están definidas.

(Observar que en esta entrada no asumí que las categorías debieran ser “localmente pequeñas”, i.e. que los hom-sets fueran conjuntos)

Anuncios
Esta entrada fue publicada en categorías. Guarda el enlace permanente.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s