El SAFT en categorías de Grothendieck

Una parte del teorema de Eilenberg-Watts dice que un functor entre categorías de módulos es un adjunto a derecha si y sólo si preserva límites.

Esto es consecuencia directa del teorema especial del functor adjunto (SAFT). Esto estará en mi monografía, así que no lo voy a desarrollar acá.

Nos podemos preguntar entonces qué tienen de especial las categorías de módulos entre las categorías abelianas, que hacen que valgan las hipótesis del teorema especial del functor adjunto (completa, bien potenciada, admite un cogenerador).

Bien, no sé las hipótesis minimales para que una categoría abeliana cumpla el SAFT, pero sí puedo comentar condiciones suficientes.

Basta con que sea una categoría de Grothendieck (ver esta entrada anterior).

Para los detalles, me remito al teorema 49 este artículo expositorio sobre categorías abelianas. Ya voy a tener más tiempo para estudiarlos…

Ya que estamos, comento que el teorema 51 de ese mismo artículo dice que en categorías de Grothendieck vale que la suma directa es un subobjeto del producto directo. Es algo que yo me había preguntado durante tiempo, bajo qué hipótesis se podía generalizar esta relación tan obvia en categorías de módulos (y tan falsa en otras).

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