Abstrayendo el criterio de Baer a categorías más generales

Disclaimer: sé apenas más de los titulares de lo que voy a decir en este post, así que debe ser tomado con pinzas (es decir, más de lo usual 😉 )

Uno puede preguntarse cómo leer categóricamente el criterio de Baer. Nos dice que para probar que un módulo es inyectivo, no hay por qué mirar que todo morfismo desde cualquier submódulo se pueda extender, sino que basta con mirar los submódulos de un módulo muy especial, a saber: los del anillo como módulo sobre sí mismo. (es decir, sus ideales a un lado).

La noción de “objeto inyectivo” tiene sentido en cualquier categoría; sin embargo, el criterio de Baer no parece tener sentido en otro lugar que no sea en una categoría de módulos. Ni siquiera en una categoría abeliana, a priori. La pregunta es entonces: ¿qué tiene de especial el anillo como módulo sobre sí mismo?

Esta pregunta es muy vaga y puede ser respondida de diversas formas, pero al menos en este contexto, lo que es relevante es que es un generador de la categoría. En una categoría con coproductos, un generador es un objeto G tal que para cualquier objeto A existe un epimorfismo \coprod_{i\in I} G \to A, para algún conjunto I. Es bien sabido que esto lo cumple R en la categoría R-Mod.

Comentario al margen: Resulta que los objetos libres en R-Mod son exactamente las copotencias (i.e. sumas directas con todos los sumandos iguales) del generador… ¿Cómo se relaciona en general la existencia de objetos libres con la existencia de un generador? Próximamente…

Esto es un primer paso. Precisamos un par de axiomas más para agregar a los de categoría abeliana. Estos fueron introducidos por Grothendieck en su famoso artículo Sur quelques points d’algèbre homologique [disponible en la red]. Se conoce como Tôhoku, sinécdoque debida a que Tôhoku Math es el nombre de la revista donde fue publicado el artículo.

Una categoría abeliana satisface el axioma AB5 si tiene coproductos, y además los colímites filtrados son exactos. Los colímites siempre son exactos a derecha (pues son el adjunto a izquierda del functor diagonal), pero no suelen serlo a izquierda, y entonces pedimos que lo sean en el caso especial de los colímites filtrados (la versión categórica de los conjuntos dirigidos). Rotman (An Introduction to Homological Algebra, 2nd ed.) prueba que en R-Mod los colímites filtrados son exactos en la proposición 5.33, página 247 [bueno, para conjuntos dirigidos, pero la idea es la misma]

De hecho, una categoría abeliana que satisface AB5 y tiene un generador se llama una categoría de Grothendieck.

Es en este contexto que vale el criterio de Baer:

Teorema: (lema 1, página 136 de Tôhoku) Si \mathcal{C} es una categoría de Grothendieck con generador R, entonces un objeto E es inyectivo si y sólo si para todo subobjeto I de R y todo morfismo f:I\to E, existe una extensión de f a un morfismo R\to E.

La demostración (que leí por arriba) parece ser esencialmente la misma, recurriendo al lema de Zorn.

Esto era lo que quería comentar, pero además resulta que en este contexto más general también podemos garantizar que la categoría tenga suficientes inyectivos! Esto no significa nada más que lo siguiente:

Teorema: Todo objeto en una categoría de Grothendieck admite un monomorfismo hacia un objeto inyectivo.

Este teorema así de general es útil para probar de un plumazo que tanto las categorías de módulos como las categorías de haces tienen suficientes inyectivos, por ejemplo (bueno, eso dicen, yo de haces no sé nada. Es que en realidad no sé nada de ninguna categoría abeliana que no sea de módulos, creo :P) Probarlo para módulos no era trivial.

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  1. Pingback: El SAFT en categorías de Grothendieck | blocdemat

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