La sucesión exacta larga de homología y la “naturalidad” del morfismo de conexión

En el siguiente post voy a hacer muy pocos detalles (¡me aburre escribir todos los diagramas conmutativos!); asumo familiaridad del lector con los functores de homología.

Sea \mathcal{A} una categoría abeliana. La homología consiste en, para cada n\in \mathbb{Z}, un functor

H_n:\mbox{Comp}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}

donde \mbox{Comp}(\mathcal{A}) es la categoría de complejos de \mathcal{A}, que también es abeliana. Por lo tanto tiene sentido hablar de sucesiones exactas cortas de complejos. A partir de una sucesión exacta corta de complejos se obtiene la llamada “sucesión exacta larga de homología”. ¿Cómo podemos expresar esto de manera sucinta y categórica?

Dada una categoría abeliana \mathcal{C}, consideramos dos subcategorías de la categoría de complejos \mbox{Comp}(\mathcal{C}) (que es abeliana como recién dijimos) que también son abelianas, a saber: la subcategoría plena cuyos objetos son las sucesiones exactas largas y la subcategoría plena cuyos objetos son las sucesiones exactas cortas. Llamémosles \mbox{SEL}(\mathcal{C}) y \mbox{SEC}(\mathcal{C}).

Afirmo que hay un functor

H: \mbox{SEC}(\mbox{Comp}(\mathcal{A})) \to \mbox{SEL}(\mathcal{A})

que codifica tanto el teorema de la SEL de homología como la llamada “naturalidad” del morfismo de conexión de homologías.

En efecto, este functor le asocia a una SEC de complejos su SEL de homología. Esto es su definición a nivel de objetos. A nivel de flechas, es mandar el diagrama “escalera corta” de complejos en el diagrama “escalera infinita” en homología. Que la conmutatividad de todos los cuadrados de la “escalera infinita” (i.e. la condición de morfismo de complejos entre las SEL de homología) se verifique es lo que nos garantiza la “naturalidad” del morfismo de conexión. Es claro que H efectivamente es un functor.

Esto está bueno, porque resume dos teoremas potentes en una sola afirmación categórica acerca de la existencia de cierto functor.

Ya que estamos, una espina que tengo clavada hace un tiempo es la de la “naturalidad” del morfismo de conexión. ¿Por qué se le llama así? ¿Es realmente que el morfismo de conexión es una transformación natural?

A mí se me ocurrió explicarlo de esta manera, pero quizás haya otra manera de verlo (agradezco comentarios):

Tenemos dos functores H_{n+1}^f,H_n^i:\mbox{SEC}(\mbox{Comp}(\mathcal{A})) \to \mathcal{A}, donde la i y la f significan “inicial” y “final”. Es decir, si se tiene una SEC de complejos

S: 0\to A \to B \to C \to 0

entonces  H_{n+1}^f(S)=H_{n+1}(C) y H_n^i(S)=H_n(A), y se definen de manera obvia en los morfismos.

Entonces el morfismo de conexión \partial es una transformación natural entre los functores H_{n+1}^f y H_n^i. El cuadrado de naturalidad de esta transformación natural es exactamente la condición dicha de “naturalidad” del morfismo de conexión.

Anuncios
Esta entrada fue publicada en álgebra homológica. Guarda el enlace permanente.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s