Generalizando el teorema de las dimensiones

Recordemos el llamado “teorema de las dimensiones” o “rank-nullity theorem” de álgebra lineal:

Teorema: sea T:V\to W una transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces \mbox{dim } V = \mbox{dim}(\mbox{Im}T) + \mbox{dim} (\mbox{ker} T).

Este teorema se puede expresar de la siguiente manera:

Teorema: si 0\to U \stackrel{f}{\to} V \stackrel{g}{\to} W \to 0 es una sucesión exacta corta de espacios vectoriales de dimensión finita, entonces \mbox{dim} V = \mbox{dim}(U) + \mbox{dim} (W).

Esto es sencillamente porque en esta situación U \simeq \mbox{ker}(g) y W \simeq V/\mbox{ker}(g) \simeq \mbox{Im}(g), y recíprocamente, todo operador T:V\to W encaja en una tal sucesión exacta corta.

Ahora que lo tenemos expresado de esta manera, ya estamos en el camino adecuado para generalizarlo.

La generalización que quiero considerar es una bastante natural, que es reemplazar espacios vectoriales con módulos. Ya sabemos que los módulos sobre anillos cualesquiera no se comportan tan bien, y que en general ni siquiera hay una noción de “dimensión”. Algunos anillos sí tienen bien definida la noción para sus módulos libres, y pasa a llamarse “rango”.

Reemplazaremos entonces el cuerpo por un dominio de ideales principales D, y consideraremos módulos finitamente generados. Ya sabemos que esta situación es mucho más manejable que el caso general.

Teorema: Sean A,B,C módulos finitamente generados sobre un DIP D. Se tiene A=D^r \oplus \mbox{Tor}(A), B=D^s\oplus \mbox{Tor}(B), y C=D^t\oplus \mbox{Tor}(C) para únicos r,s,t\in \mathbb{N}. Entonces, si 0\to A \stackrel{f}{\to} B \stackrel{g}{\to} C \to 0 es una sucesión exacta corta, se tiene que s=r+t.

En otras palabras “se cumple el teorema de las dimensiones” para los rangos de las partes libres de módulos finitamente generados sobre un DIP.

Demostración: Tenemos entonces una sucesión exacta corta

0\to D^r\oplus \mbox{Tor}(A) \stackrel{f}{\to} D^s \oplus\mbox{Tor}(B)\stackrel{g}{\to} D^t\oplus\mbox{Tor}(C)\to 0

Queremos eliminar la parte de torsión para considerar sólo la parte libre: ya sabemos que la mejor manera de hacer esto es tensorizar con Q=\mbox{Frac}(D), el cuerpo de fracciones de D. Como Q es plano (corolario 5.35, p.248 de [R]), entonces al tensorizar con Q se obtiene una sucesión exacta corta de Q-espacios vectoriales:

0\to Q\otimes_D D^r \to Q\otimes_D D^s \to Q\otimes_D D^t \to 0

donde la parte de torsión murió, ya que el tensor distribuye naturalmente respecto de la suma directa, y Q mata la torsión (Q es un D-módulo divisible, y un módulo divisible tensorizado con un módulo de torsión da cero.)

De nuevo, como el tensor distribuye naturalmente respecto de la suma directa, y como Q\otimes D\simeq Q naturalmente, se consigue una sucesión exacta corta de Q-espacios vectoriales:

0\to Q^r {\to} Q^s \to Q^t \to 0

Por el teorema de las dimensiones, se obtiene que s=r+t, que es lo que queríamos probar. \square

Corolario: si f:\mathbb{Z}^n\to \mathbb{Z}^m, entonces \mbox{rg}(\mbox{ker }f) + \mbox{rg}(\mbox{Im }f)=n.

Demostración: \mathbb{Z} es un DIP, y \mathbb{Z}^n, \mathbb{Z}^m son \mathbb{Z}-módulos libres finitamente generados. Se tiene la sucesión exacta corta:

0\to \mbox{ker}(f)\to\mathbb{Z}^n\stackrel{f}{\to}\mbox{Im}(f)\to 0

y el teorema anterior se aplica inmediatamente, consiguiendo la tesis. \square

Observación 1: quiero subrayar la importancia de que los isomorfismos citados sean naturales. El lector interesado querrá escribir la prueba con mayor detalle, y se dará cuenta que la mera existencia de tales isomorfismos de módulos no es suficiente para garantizar que las sucesiones de la demostración del teorema sean efectivamente exactas. Se precisa que los isomorfismos hagan conmutar ciertos cuadrados, y esto es exactamente la naturalidad. Esta naturalidad ya fue explotada en este post.

Observación 2: tenemos aquí otra ilustración más, por si hacía falta, de la potencia del producto tensorial y de su utilidad. En este caso como en el del post recién mentado, redujimos un problema de teoría de módulos al álgebra lineal, utilizando además que el tensor nos permite eliminar la torsión para concentrarnos en la parte libre.

[R] Rotman, An Introduction to Homological Algebra, 2ª edición

 

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4 respuestas a Generalizando el teorema de las dimensiones

  1. bstonek dijo:

    La motivación de este post fue el corolario, que ya fue utilizado más de una vez en algunas clases de topología algebraica para calcular ciertas homologías. Admito que desconocía que valiera el teorema; en todo caso, no era obvio que fuera a valer.

    Quizás haya una demostración más elemental, pero esta me gusta mucho por muchas razones, por ejemplo a) ser un corolario de un teorema más general, b) ser conceptual y no computacional, c) usar la extensión de escalares 😛

  2. agustin dijo:

    che al principio en vez de U isomorfo a ker(f) quisiste decir U isomorfo a ker(g) y en vez de lo otro quisiste decir W=Im(g) (?)

    No me queda clara la cuestión de la naturalidad. O sea no es cierto en general que si tenés una SEC 0->A->B->C->0 con A isomorfo a D, B a E y C a F, la sucesión 0->D->E->F->0 es exacta (?).

    En el caso de que F y G sean funtores lineales (covariantes ponele) naturalmente isomorfos, como probás que la exactitud de 0->F(A)->F(B)->F(C)->0 implica la de 0->G(A)->G(B)->G(C)->0 ?

    • bstonek dijo:

      La primera corrección que me hacés: sí, claro, es eso. Gracias, ya lo corregí.

      Sobre tu segundo párrafo: no, no es cierto. Fijate que no estás diciendo nada de los mapas. ¿Qué sucesión es esa que ponés 0->D->E->F->0? Todo bien con que los tres objetos sean uno a uno isomorfo a A,B,C, pero no me estás diciendo nada de los mapas de esa sucesión, y eso es obviamente fundamental para que sea exacta… Ponele que los isomorfismos son identidades; estarías diciendo que cualquier terna (A,B,C) tal que encajan en *alguna* SEC 0->A->B->C->0, entonces *toda* sucesión 0->A->B->C->0 es exacta, lo cual es obviamente falso (tomate todos los mapas nulos).

      Tu segunda pregunta la entiendo así: si tenés F,G functores aditivos naturalmente isomorfos, entonces dada una sucesión 0->A->B->C->0 con mapas f,g tal que 0->FA->FB->FC->0 es una SEC (con los mapas Ff y Fg), entonces 0->GA->GB->GC->0 es una SEC (con los mapas Gf y Gg).

      Esto sí es cierto y es crucial usar que son functores naturalmente isomorfos (y no solamente que tengas isomorfismos “puntuales” de FA con GA, etc.

      Para demostrarlo basta poner una SEC arriba de la otra, armando la escalerita con los isomorfismos verticales entre FA y GA, FB y GB, FC y GC, que conmutan los diagramas por la naturalidad. Entonces cazando sencillamente el diagrama obtenés lo deseado.

      Un comentario: la clave acá está en pensar en la categoría de sucesiones exactas cortas. En esta categoría, un isomorfismo consiste exactamente de isomorfismos puntuales que hacen conmutar los diagramas (son morfismos de complejos!). Es la noción natural a considerar.

      (Otro comentario relacionado: formalmente un complejo es un functor \mathbb{Z}^{op} \to \mathcal{A} donde \mathcal{A} es una categoría abeliana, y un morfismo de complejos no es otra cosa que una transformación natural entre sendos functores. De esta manera, la conmutatividad de la condición de ser “morfismo de complejos” consiste de cuadrados de naturalidad :P)

      (me avivé al final que también se podía poner latex en los comentarios…)

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