Los bimódulos aclaran

Quizás hayamos aprendido por primera vez el producto tensorial de módulos sobre anillos conmutativos.

La conmutatividad no es necesaria si no aspiramos a conseguir un módulo que cumpla la propiedad universal deseada (con mapas bilineales, etc.), y en su lugar aspiramos a conseguir meramente un grupo abeliano (es decir, no aspiramos a dotarlo de ninguna acción).

En ese caso, sin conmutatividad ni hipótesis adicionales, podemos encontrar un grupo abeliano que sea un producto tensorial. Partimos de un S-módulo a derecha M y de un S-módulo a izquierda N, y podemos conseguir un grupo abeliano M\otimes_S N con un mapa S-biaditivo \theta:M\times N\to M\otimes_S N que es universal respecto de esa propiedad (cualquier otro grupo abeliano con mapa S-biaditivo desde M\times N se factoriza de manera única a través de \theta).

Recordar que un mapa f:M\times N\to K (donde M,N son como antes y K es un grupo abeliano cualquiera) es S-biaditivo si es un morfismo de grupos que cumple f(ms,n)=f(m,sn) (la s no sale para afuera porque esto no tiene sentido a priori).

Esto no es difícil de hacer, la idea es la misma, pero tomando grupo abeliano libre en vez de módulo libre, etc.

Ahora podemos ser un poquito más ambiciosos y querer recuperar algo de la estructura perdida. Lo que tenemos que considerar son bimódulos.

Definición: Sean R,S anillos. Un (R,S)-bimódulo M es un R-módulo a izquierda y un S-módulo a derecha, tal que (rm)s=r(ms) (compatibilidad entre las acciones).

Supongamos que A es un (R,S)-bimódulo y que B es un S-módulo a izquierda. Ya sabemos que A\otimes_S B es un grupo abeliano.

Ahora podemos aprovechar la estructura a izquierda de A como R-módulo, que no la usamos, para dotar a A\otimes_S B de estructura de R-módulo a izquierda, con la acción definida en los generadores: r(a\otimes b)=(ra)\otimes b. Easy as pie.

Más aún: ¿qué pasa si no sólo uno de ellos es un bimódulo, sino los dos? La misma idea nos permite ver que:

Si R,S,T son anillos y A es un (R,S)-bimódulo, y B es un (S,T)-bimódulo, entonces A\otimes_S B es un (R,T)-bimódulo. Observar que la mnemotecnia para acordarse del orden es la misma que la de multiplicar matrices 😛

Este producto tensorial bien general contiene todos los anteriores. En efecto, para cualquier anillo U, un U-módulo a izquierda es un (U,\mathbb{Z})-bimódulo, y un U-módulo a derecha es un (\mathbb{Z},U)-bimódulo (las acciones de \mathbb{Z} son las que todo grupo abeliano, en particular todo módulo, tiene, de ambos lados.)

Esto recupera el caso de un solo anillo y producto tensorial grupo abeliano: (\mathbb{Z},S) \times (S,\mathbb{Z}) \mapsto (\mathbb{Z},\mathbb{Z}) via el producto tensorial (mapeo simbólico, se entiende). Y un (\mathbb{Z},\mathbb{Z})-bimódulo no es nada más que un grupo abeliano.

¿Cómo recuperamos el caso conmutativo? Observando que si R es conmutativo, entonces todo R-módulo a izquierda o a derecha es automáticamente un (R,R)-bimódulo (esto ya lo sabíamos, y lo usamos todo el tiempo, sólo que no con esta terminología fancy).

Entonces, simbólicamente, al tener R conmutativo estábamos teniendo (R,R)\times (R,R)\mapsto (R,R).

Así hemos desenmarañado la hipótesis de conmutatividad, observando que lo único que nos importa de ella es que convierte a cualquier R-módulo (a cualquier lado) en un (R,R)-bimódulo; luego, el producto tensorial de módulos sobre un anillo conmutativo es un caso particular del producto tensorial de bimódulos.

Resumiendo, el tensor es un bifunctor así:

-\otimes_S-:_R \mbox{Mod}_S\times _S\mbox{Mod}_T\to _R\mbox{Mod}_T.

Análogas consideraciones valen para el hom. Ya sabemos que si A,B son dos R-módulos a izquierda, entonces hom_R(A,B) es un grupo abeliano, y si además R es conmutativo, entonces es un R-módulo. De nuevo, la conmutatividad se usa tan sólo para que los R-módulos sean (R,R)-bimódulos, y son los bimódulos los que dotan al hom de una estructura más rica que la de mero grupo abeliano.

El caso con la estructura adicional en el hom es un poco menos simétrico (no cumple la “regla matricial” como el tensor), y además resultan dos bifunctores posibles.

En efecto, si A,B son ambos R-módulos a izquierda, entonces hom_R(A,B) tiene sentido, y podemos agregarle estructura a derecha a A y B (¡no necesariamente sobre el mismo anillo!), resultando:

\hom_R(-,-): (_R \mbox{Mod}_S)^{op} \times _R \mbox{Mod} _T \to _S \mbox{Mod}_T, donde las acciones en \hom_R(A,B) se definen como (s\cdot f)(a)=f(as) y (f\cdot t)(a)=f(a)t,

Ahora podemos hacer lo mismo, pero partiendo de dos S-módulos a derecha A y B, resultando:

\hom_S(-,-): (_R \mbox{Mod}_S)^{op}\times _T \mbox{Mod}_S \to _T \mbox{Mod}_R, donde las acciones en \hom_S(A,B) se definen como (t\cdot f)(a)=tf(a) y (f\cdot r)(a)=f(ra).

Anuncios
Esta entrada fue publicada en anillos y módulos, Uncategorized. Guarda el enlace permanente.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s