Generadores y cogeneradores

En este post, comenté el resultado “the Yoneda embedding reflects exactness”.

Es una propiedad general que un functor entre categorías abelianas puede tener, el de reflejar exactitud. Es decir, que se deduzca la exactitud de una sucesión al aplicar dicho functor y obtener una sucesión exacta.

En ese caso estaba considerando la inmersión de Yoneda: en efecto, una sucesión en \mathrm{Ab}^{\mathcal{A}} (donde \mathcal{A} es una categoría abeliana) es exacta si y sólo si queda exacta al aplicársela a todo objeto de \mathcal{A} (dicho muy mal y pronto), de donde se deduce que aquello que yo decía citando a Weibel es realmente una “reflexión” en este sentido formal.

Nos podemos preguntar si podemos relajar la condición, encontrando *un* módulo para el cual baste verificar si la sucesión de Homs inducida es exacta para conseguir exactitud de la original. Sí, podemos, con un *cogenerador* (para el caso contravariante).

Esto es lo que exploro acá.

No es nada más que un esbozo, porque quedan algunas preguntas colgadas y una última proposición sin demostrar. Encontré esa afirmación (también sin demostrar) en un pdf de algún curso de por ahí, tendría que sentarme a pensarla, pero ya es tarde, y no quiero seguir “perdiendo” (invirtiendo) el tiempo en esto ahora.

Bueno, igual dejo el esbozo ahí.

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Una respuesta a Generadores y cogeneradores

  1. Pingback: Abstrayendo el criterio de Baer a categorías más generales | blocdemat

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