La filosofía de Yoneda; exactitud de functores adjuntos

El lema de Yoneda dice algo que no voy a repetir aquí. Yo siempre que tuve que recordarlo (ah, ¿nunca les pasó de despertarse una fría mañana de invierno y decir, “recordemos el lema de Yoneda”?) lo hice así: partimos de una cierta información, es decir, una categoría \mathcal{C}, un objeto de \mathcal{C} y un functor \mathcal{C}\to Set. El lema de Yoneda me da una biyección natural entre dos conjuntos (isomorfismo natural de functores). Bueno, mezclemos los ingredientes que tenemos de las únicas dos maneras posibles y senstas dado lo poco que tenemos, y ahí te encontrás el isomorfismo.

Obviamente esto no es muy satisfactorio. Resulta que la gente piensa el lema de Yoneda de una manera muy sucinta y bonita, que es:

Podemos recuperar un objeto A a menos de isomorfismo si conocemos todos los Hom(A,X) para todos los objetos X de la categoría. (Dualmente, conociendo Hom(X,A) para todos los objetos X).

Fantástico, divino, pero ¿cómo se conecta con el lema de Yoneda ese de que hay una biyección natural de las transformaciones natural, bla, bla…?

Se le pregunté ahí al usuario con la respuesta más votada (y de donde parafraseo el texto en itálica de acá arriba), y resulta de tomar el functor “dado” en el lema de Yoneda como el functor hom desde (o hacia) el objeto dado. La interpretación de arriba parece muy acotada, pues, si sólo es para el caso de un functor ahí. Me dijo entonces que es el uso más corriente para el lema de Yoneda. Y yo estoy dispuesto a creerle y contentarme por ahora, a ver si puedo avanzar en mi entendimiento del lema 😛

Bien, entonces más formalmente, lo que se prueba es que

Hom(X,-) \simeq Hom(Y,-) \Rightarrow X\simeq Y
Hom(-,X) \simeq Hom(-,Y) \Rightarrow X\simeq Y

(los detalles formales de la deducción de esto a partir del enunciado general están en el libro de Awodey, por ejemplo)

Acá el vínculo con la teoría de representaciones (abstracta) es patente, a partir de la primera de las dos líneas estas.

Por algún otro lado leí que Yoneda (la segunda versión), desde este punto de vista, se puede interpretar físicamente (!) como: si estamos en un acelerador de partículas, y queremos conocer una partícula dada, lo que podemos hacer es tirarle con una partícula y ver qué pasa. Bien, si le tiramos con todas las partículas posibles, de todas las maneras posibles, entonces podremos determinar completamente nuestra partícula incógnita 🙂

(bien, encontré la referencia para esto: estoy parafraseando a T. Johnson-Freyd, que parafrasea a Ravi Vakil, en este post de MO)

La manera de interpretar la primera versión sería (también según T. J-F en los comentarios), podemos recuperar una partícula viendo de qué maneras se puede reflejar en todas las demás partículas (i.e., estudiando las representaciones de la partícula :P)

Bien, precioso. Pongámoslo al uso.

Hay una propiedad bien útil del functor Hom que es la siguiente: no sólo el Hom (tomémoslo covariante) es exacto a izquierda, sino que además, vale una suerte de recíproco (Weibel le llama a este resultado “the Yoneda embedding reflects exactness”) Más formalmente:

Proposición: Sean f:A\to B, g:B\to C morfismos de R-módulos a izquierda. Entonces,

Hom_R(X,A)\stackrel{f_*}{\to}Hom_R(X,B)\stackrel{g_*}{\to}Hom_R(X,C) exacta en Ab para todo X\in R-Mod \Rightarrow A\stackrel{f}{\to}B\stackrel{g}{\to}C exacta en R-Mod.

Demostración:

Ajá. Cuando publiqué el post había puesto una demostración que rápidamente me di cuenta que estaba mal, de tal manera que no veía ya cómo este resultado se deducía del lema de Yoneda. Resulta que en realidad no se deduce formalmente del lema de Yoneda, sino moralmente. Más bien se puede decir que ilustra la filosofía del lema de Yoneda, en el sentido que recuperamos información sobre los objetos conociéndola sus hom-sets. Ver este post en math.SE, donde, de paso, está la demostración corriente (en la respuesta de A. Roig).

Bueno, análogamente se prueba se deduce el caso contravariante. La prueba es dual: en vez de tomar una identidad y una inclusión, te tomás una identidad y una proyección canónica.

Así que si bien este resultado no es una aplicación directa de Yoneda, es una ilustración de su filosofía, así que igual me quedo contento 😛

Ya que estamos, demostremos un teorema muy útil que usa esta proposición. Voy a usar que el hom contravariante es exacto a izquierda, lo cual se prueba a mano sin problemas.

Teorema: Sean \mathcal{A}, \mathcal{B} dos categorías abelianas, y L:\mathcal{A}\to \mathcal{B}, R:\mathcal{B}\to \mathcal{A} functores aditivos tales que (L,R) es un par de functores adjuntos. Entonces L es exacto a derecha y R es exacto a izquierda.

Demostración: Sea A_1 \stackrel{f}{\to}A_2 \stackrel{g}{\to} A_3 \to 0. Sea B un objeto de \mathcal{B} cualquiera. Apliquemos entonces \hom_{\mathcal{A}}(-,RB): como es exacto a izquierda, se tiene

0\to \hom_{\mathcal{A}}(A_3,RB) \stackrel{g^*}{\to} \hom_{\mathcal{A}} (A_2, RB) \stackrel{f^*}{\to} \hom_{\mathcal{A}} (A_1,RB) sucesión exacta. Por la adjunción de (L,R), y por la naturalidad del isomorfismo adjunto, deducimos entonces la exactitud de la siguiente sucesión:

0\to \hom_{\mathcal{B}}(LA_3,B) \stackrel{(Lg)^*}{\to} \hom_{\mathcal{A}} (A_2, RB) \stackrel{(Lf)^*}{\to} \hom_{\mathcal{A}} (A_1,RB).

Ya está, entonces, porque esto vale para un objeto B de \mathcal{B} cualquiera: la proposición anterior nos da directamente que la sucesión

LA_1\stackrel{Lf}{\to}LA_2 \stackrel{Lg}{\to}LA_3 \to 0 es exacta. \square

Ejemplo: La adjunción del hom y del tensor. Fijado _R A_S un bimódulo, tomar \mathcal{A}=Mod-R, \mathcal{B}=Mod-S, y L=-\otimes_R , R=\hom_{\mathbb{S}}(A,-). Es decir,

Hom_S(A\otimes_R B,C)\simeq Hom_R(A, Hom_S(B,C)) naturalmente.

Se deduce que el tensor es exacto a derecha.

Update: Ahora encontré una aplicación directa de Yoneda 🙂

Proposición: La inmersión de Yoneda es un functor continuo. En otras palabras, el hom covariante preserva límites. En otras palabras, si \mathcal{C} es una categoría y A es un objeto de \mathcal{C}, se tiene que \hom_{\mathcal{C}}(A,-):\mathcal{C}\to Set preserva límites.

Demostración: Hay que recurrir a la construcción explícita de los límites en Set, como subconjunto de “tramas” del producto… No es el objetivo de este post hacerla. \square

Teorema: Sean F:\mathcal{C} \to \mathcal{D}, G:\mathcal{D}\to \mathcal{C} functores tales que (F,G) es un par adjunto. Entonces F preserva colímites y G preserva límites.

Demostración: Sea D:I\to \mathcal{D} un diagrama tal que existe su límite en \mathcal{D}. Veamos que G lo preserva. Sea A\in \mathcal{C}. Se tiene:

\hom_\mathcal{C} (A, G(\varprojlim D)) \simeq \hom_{\mathcal{D}} (F(A),\varprojlim D) \simeq \varprojlim \hom_{\mathcal{D}}(F(A),D) \simeq \varprojlim \hom_{\mathcal{C}}(A,GD) \simeq \hom_{\mathcal{C}}(A,\varprojlim GD)

donde todos los isos son naturales. El primer iso es adjunción, el segundo iso es la proposición, el tercer iso es adjunción de nuevo, y el cuarto iso la proposición de nuevo.

Por el lema de Yoneda, como este isomorfismo natural es para todo A objeto de \mathcal{C}, se deduce que G(\varprojlim D)\simeq \varprojlim G(D) que es lo que queríamos probar. \square

Es una prueba bien sencilla que me recuerda a demostraciones con funciones continuas (no en vano los functores que preservan límites se llaman “continuos”). Sólo se usan dos propiedades (la adjunción y que el hom es continuo), pero se intercalan para llegar a un resultado nuevo.

Ejemplo: De nuevo, la adjunción hom-tensor nos da que el tensor preserva colímites, generalizando lo sabido de que el tensor conmuta con sumas directas.

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4 respuestas a La filosofía de Yoneda; exactitud de functores adjuntos

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  4. charterdr dijo:

    Bonita explicación de la filosofía del lema de Yoneda. Justo hoy estudie la demostración del libro de Rotman y la verdad teniendo bien en claro que cosa representa cada símbolo se obtiene una demostración relativamente sencilla.

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