El p-grupo de Prüfer como límite directo

El 3 de setiembre de 2011 hice una afirmación que resultó ser falsa, y es que en el próximo post iba a hablar de límites algebraicos, y si tenía ganas iba a ver el p-grupo de Prüfer como límite directo.

Siendo sinceros, no sé si en ese momento habría podido explicar bien ese ejemplo porque mi manejo de los límites era poco más lejos de las definiciones… Probablemente me habría quedado trancado en algún lugar. Menos mal que no lo hice en ese momento.

Ahora he mejorado bastante mi entendimiento de los límites “algebraicos” (donde la categoría de índices es un preorden, o un poset, o un conjunto dirigido), pero hacer una buena exposición me llevaría mucho tiempo, y para hacerla mal no la hago. Así que voy a escribir el ejemplo en todo detalle, pero sin dar el background necesario. Ya lo escribiré, ya…

En este post, C_{p^n} denotará al grupo cíclico de p^n elementos, i.e., \mathbb{Z}_{p^n} a menos de isomorfismos. Notaré a sus elementos sin denotar las clases de equivalencia porque no hay riesgo de confusión.

Definición: Sea p un número primo. El p-grupo de Prüfer se define como

C_{p^\infty}=\left\{\exp\left({\frac{2k\pi i}{p^n}}\right), k\in \mathbb{Z}^+, n\in \mathbb{Z}^+\right\}

En una palabra, es el subrupo del grupo circular S^1\subset \mathbb{C} que consiste de todas las raíces p^n-ésimas de la unidad, para todo entero positivo n.

Ejemplo: En una palabra, probemos que C_{p^\infty} = \varinjlim C_{p^n}, lo cual notacionalmente es muy razonable. Esta afirmación es muy deficiente porque hay muchos abusos de notación e información relevante que falta. Pero resume lo que vamos a probar.

Consideremos \mathbb{Z}^+ como conjunto dirigido con el orden usual. Sobre este conjunto dirigido, consideremos el siguiente sistema dirigido de grupos abelianos:

\{C_{p^j}\}_{j\in \mathbb{Z}^+} y, para cada r\leq j, morfismos \varphi^r_j: C_{p^r} \to C_{p^j} que son los morfismos inducidos por los mapas  \mathbb{Z}\to\mathbb{Z} “multiplicar por p^{j-r}“.

Están obviamente bien definidos pues multiplicar por p^{j-r} el subgrupo p^r\mathbb{Z} me da el subgrupo p^j\mathbb{Z}.

Afirmo que el p-grupo de Prüfer es isomorfo al límite directo de este sistema directo.

Esto no está del todo bien dicho: así como el coproducto no es sólo un objeto sino un objeto con sus inyecciones, el colímite (digo, el límite directo) es un objeto con sus inserciones también. Defino los mapas

\sigma_r:C_{p^r} \to C_{p^\infty}, \sigma_r(\ell)=\exp\left(\frac{2\ell \pi i}{p^r}\right) para todo r\in \mathbb{Z}^+.

Ahora sí. Afirmo que \left(C_{p^\infty}, \{\sigma_r\}_{r\in \mathbb{Z}^+}\right) = \varinjlim C_{p^n} (sí, la notación de límite es deficiente porque no incluye los morfismos \varphi^r_j, pero qué le vamos a hacer).

Quedó grande el diagrama, ¿eh?

Notemos \lambda_j: C_{p^j}\to \varinjlim C_{p^n} a los morfismos canónicos del límite directo.

Primero observemos que \sigma_j \varphi_j^r=\sigma_r siempre que r\leq j. En efecto,

\sigma_j\varphi^r_j(t)=\sigma_j(p^{j-r}t)=\exp\left(\frac{2p^{j-r}t\pi i}{p^j}\right)=\exp\left(\frac{2t\pi i}{p^r}\right)=\sigma_r(t)

Por lo tanto, por la propiedad universal del límite directo, existe un único morfismo \theta: \varinjlim C_{p^n} \to C_{p^\infty} que hace conmutar el diagrama, i.e. tal que

\sigma_r=\theta \lambda_r para todo r\in \mathbb{Z}^+.

\theta es sobreyectiva: sea a=\exp\left(\frac{2k\pi i}{p^n}\right) \in C_{p^\infty}. Entonces a=\sigma_n(k), i.e. a=\theta(\lambda_n(k)) y ya está.

\theta es inyectiva: sea x\in \varinjlim C_{p^n} tal que \theta(x)=0. Entonces (*) x=\lambda_r(k) para cierto r\in \mathbb{Z}^+ y cierto k\in C_{p^r}. Se tiene:

0=\theta(x)=\theta \lambda_r(k)=\sigma_r(k)=\exp\left(\frac{2k\pi i}{p^r}\right), y por lo tanto k=0 en C_{p^r}. Por lo tanto x=\lambda_r(0)=0 y hemos terminado. \square

(*) Aquí se usa un hecho no del todo trivial, y muy particular del límite directo de módulos sobre conjuntos dirigidos, y es que un elemento del límite es de la forma \lambda_i(m_i) para algún i y m_i.

Por ejemplo, si tomamos un conjunto ordenado con el orden discreto (naides es más que naides), no es dirigido. Lo que se obtiene a partir de este ejemplo es la suma directa. Y un elemento arbitrario de la suma directa obviamente no es de la forma \iota_j(m_j) donde \iota_j es una inyección.

La sobreyectividad y la inyectividad de \theta usan sólo lo siguiente:

– la sobreyectividad se sigue de que cada elemento de C_{p^\infty} está en la imagen de algún \sigma_r,
– la inyectividad se sigue de que todos los \sigma_r son inyectivos.

Esta observación es muy útil (y valdría separarla como lema), pues muy a menudo se está en esas condiciones, y la prueba de que un par (objeto, morfismos) es un límite directo sigue este patrón.

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