Ideales minimales y cadenas descendentes

Recordemos el conocido

Teorema: Si A es un anillo (con unidad), entonces todo ideal a izquierda (o a derecha, o bilateral) I\neq A está contenido en un ideal a izquierda (o a derecha, o bilateral) maximal.

Esto es una aplicación directa del lema de Zorn: consideramos la familia de los ideales propios que contienen al ideal dado. Dada una cadena en este conjunto, su unión va a ser un ideal, que va a ser propio pues si fuera todo el anillo, tendría la unidad, y por tanto la unidad estaría en alguno de los uniendos, absurdo pues son todos propios. Observar que usamos la unidad. (Se puede probar que el lema de Zorn es equivalente a este teorema).

Hagamos un ejemplo explícito: si tenés un ideal n\mathbb{Z}\lhd \mathbb{Z}, entonces si descomponemos n en potencias de primos diferentes: n=p_1^{k_1}\dots p_r^{k_r}, se tiene n\mathbb{Z}\subset p_i\mathbb{Z} para cualquier i=1,\dots,n, que son ideales maximales. Cuando hay algo relacionado con el retículo de ideales de un anillo, está bueno mirar cómo pinta en \mathbb{Z} porque es donde (en mi opinión) es más fácil visualizarlo, gracias a la fácil caracterización de la inclusión de ideales por la divisibilidad.

Una pregunta muy legítima que cabe hacerse es si vale el “dual” (en el sentido de la teoría del orden) del teorema anterior. Es decir, si todo ideal a izquierda no nulo incluye un ideal a izquierda minimal, donde por ideal minimal entendemos ideal no nulo que no contiene ideales propios (equivalentemente, si es simple como submódulo del anillo con la acción regular). Me sorprendí cuando me encontré con este asunto, y me sentí tonto (¡como tantas veces!) por no habérmelo preguntado yo mismo 😛

Bien, pues no cierto. De nuevo, tomemos como ejemplo a los enteros. Tomemos p\mathbb{Z}. Observar que la cadena

p\mathbb{Z} \supsetneq p^2\mathbb{Z}\supsetneq p^3\mathbb{Z}\supsetneq \dots

es una cadena de inclusiones estrictas donde además entre cada uno de los eslabones no hay ningún otro ideal. Como la cadena es infinita, ninguno de los eslabones es un ideal minimal. La intersección de todos estos ideales es el ideal nulo (¡ningún número distinto de 0 va ser múltiplo de p^k para todo k!), por lo tanto no hay chance de que p\mathbb{Z} contenga un ideal minimal.

Observar que nos vimos llevados a considerar cadenas decrecientes de ideales. Al revés que lo que hacíamos con los anillos noetherianos, i.e. aquellos donde toda cadena creciente de ideales estabilizaba. La noción dual es la de

Definición: Un anillo es artiniano a izquierda si toda cadena decreciente de ideales a izquierda estabiliza.

Análogamente se define artiniano a derecha, y si el anillo es conmutativo las nociones coinciden y por tanto hablamos sólo de anillo artiniano.

Proposición totalmente análoga a una con anillos noetherianos (y de prueba análoga también) es la siguiente:

Proposición: Un anillo es artiniano a izquierda si y sólo si toda familia no vacía de ideales a izquierda tiene un elemento minimal.

Armando el ejemplo anterior vimos entonces que \mathbb{Z} no era artiniano (mientras que sí es noetheriano). Pero un hecho increíblemente sorprendente es el siguiente

Teorema (Hopkins-Levitzki): todo anillo artiniano a izquierda es noetheriano a izquierda.

La prueba la desconozco pero parece que no es trivial. Quizás si algún día la estudie me saque un poco de esta intriga que tengo con este teorema… ¡Parece tan poco razonable esta asimetría entre izquierda y derecha! ¿No? Resulta que si tenés anillos donde toda cadena creciente de ideales estabiliza, pero donde hay cadenas decrecientes que no estabilizan; ¡pero al revés no puede pasar! ¿¿¿??? Más que asimetría entre “izquierda y derecha” es una asimetría entre incluir y ser incluido. No deja de sorprenderme, igual. Quizá pregunte por ahí a ver si alguien tiene un insight de por qué sucede esto.

Bueno, volviendo a cuestiones más mundanas, es bien fácil ver que si un anillo es artiniano a izquierda entonces todo ideal a izquierda no nulo contiene un ideal minimal: consideramos la familia de los ideales no nulos incluidos en él, es no vacía, así que por la proposición tiene un elemento minimal, que es el ideal minimal buscado.

(¿No es asombroso el teorema de Hopkins-Levitzki ese? Estas asimetrías son curiosas… Esta me llama especialmente la atención, pero en esto de anillos y módulos hay más asimetrías (y simetrías) inesperadas. Por ejemplo, todo módulo a izquierda tiene una envolvente inyectiva, pero no necesariamente un cubrimiento proyectivo (los anillos cuyos módulos cumplen esto son los anillos perfectos a izquierda). Resulta que si un anillo cumple que todo módulo a izquierda finitamente generado tiene un cubrimiento proyectivo, se llama semiperfecto. No está el “a izquierda”. Adivinaste. Semiperfecto a izquierda sii semiperfecto a derecha. Mientras que para perfectos esto es falso. ¿Llegaré algún día a entender el porqué de estas asimetrías/simetrías?)

(… aún más evidencia de que yo no soy un formalista, si no me respondería sencillamente “¿el porqué? eso no tiene sentido: son teoremas. Una proposición es verdadera o falsa, y ninguna tiene una razón para ser verdadera o dejar de serlo” ;))

(Un rato después: edito para agregar esto 😛 No me aguanté.)

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2 respuestas a Ideales minimales y cadenas descendentes

  1. Pingback: Envolventes inyectivas: asimétrica dualidad | blocdemat

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