Delicada simplicidad

Mi objetivo con este post es aclarar(me) sobre las diferentes definiciones de simplicidad que hay en anillos y módulos.

No asumo conmutatividad de los anillos, y “módulo” significa “módulo a izquierda”. Esto es especialmente importante de aclarar para lo que voy a decir.

Definición: Un anillo es simple si es no nulo y no tiene ideales bilaterales propios.

Definición: Un módulo (a izquierda o a derecha) es simple si es no nulo y no tiene submódulos propios.

Estas dos definiciones son coherentes en el sentido que lo que le estamos pidiendo al objeto es que no tenga cocientes no triviales.

Ahora bien, un anillo es un módulo a izquierda sobre sí mismo, entonces podemos preguntarnos cómo se relacionan las dos nociones.

En este caso, submódulo se traduce en ideal a izquierda. Entonces, trivialmente,

simple como módulo \Rightarrow simple como anillo

pues si no tenemos ideales a izquierda, menos vamos a tener ideales bilaterales 😛

El recíproco a priori no tiene por qué ser verdad, ¿no? No tener ideales bilaterales no nos tiene por qué garantizar que no tengamos ideales a izquierda. Y de hecho, no lo hace.

simple como anillo \not\Rightarrow simple como módulo

Ejemplo: Sea \Delta un anillo, y consideremos el anillo de matrices M_n(\Delta). Una tediosilla manipulación con matrices elementales nos da que los ideales bilaterales de M_n(\Delta) son de la forma M_n(I) donde I es un ideal bilateral de \Delta.

De este hecho se deduce inmediatamente que si \Delta es un anillo con división (y por lo tanto no tiene ideales bilaterales propios), entonces M_n(\Delta) no tiene ideales bilaterales propios: M_n(\Delta) es un anillo simple.

Pero no es simple como módulo sobre sí mismo, pues tiene ideales a izquierda no triviales: los “ideales columna”. El “ideal columna” j-ésimo es el ideal que consiste de las matrices nulas salvo en la columna j-ésima. Tengamos esto en mente. \square

Bien, pero ¿qué pasa con la semisimplicidad?

Definición: Un módulo es semisimple si se descompone como suma directa de submódulos simples.

Definición: Un anillo es semisimple si es semisimple como módulo sobre sí mismo (i.e. si es suma directa de ideales a izquierda).

Observar entonces que en este caso no vamos a tener el problema de antes, por definición de anillo semisimple.

Observar también que deberíamos a priori decir “anillo semisimple a izquierda”, pero es consecuencia directa del teorema de Artin-Wedderburn que anillo semisimple a izquierda \Rightarrow anillo semisimple a derecha.

(Vale también comentar que si un anillo es suma directa de ideales a izquierda, entonces es una suma directa finita (i.e. casi todos los sumandos son nulos). Basta ver cómo se descompone el 1, etc. Luego podemos decir sin perder generalidad que un anillo semisimple es tal que es suma directa finita de ideales a izquierda)

Pero nos podemos preguntar cómo se relaciona la noción de semisimple con las nociones de simple. La trivial es:

módulo simple \Rightarrow módulo semisimple

La vuelta es falsa:

módulo semisimple \not\Rightarrow módulo simple

Ejemplo: El mismo ejemplo de antes, M_n(\Delta) donde \Delta es un anillo con división, sirve. Ya vimos que no es simple, pues tiene a los ideales columna como ideales a izquierda. Pero además es semisimple, porque es obviamente suma directa de estos mismos ideales :). \square

anillo semisimple \not\Rightarrow anillo simple

Ejemplo: tomemos \mathbb{Z}_{pq}=\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}. Es semisimple, pues es suma directa de sus dos ideales izquierdos \mathbb{Z}_p y \mathbb{Z}_q (más en general, \mathbb{Z}_n es semisimple si y sólo si n es libre de cuadrados). Pero no es simple, pues estos dos mismos ideales propios son bilaterales. \square

anillo simple \not\Rightarrow anillo semisimple

pero fabricar un ejemplo es una tarea más difícil.

Yo no termino de acostumbrarme, ¿eh? Todas las implicaciones (o no implicaciones, más bien) son naturales, salvo esta última. Es decir, matemáticamente me parece razonable pensar que el hecho que un anillo no tenga ideales bilaterales propios no significa que vaya a ser suma directa de ideales izquierdos.

Pero lingüísticamente es evidente que si algo es simple, debería ser semisimple (si tengo diez dedos, a fortiori tengo nueve, ¿no?), pero resulta que en este caso, la matemática y la lingüística fueron por caminos diferentes.

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Una respuesta a Delicada simplicidad

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