Módulos semisimples

Sea R un anillo cualquiera. Un R-módulo es simple si es no nulo y no contiene submódulos propios. Un R-módulo es semisimple si es suma directa de simples.

¿Por qué interesan los semisimples? Por muchas cosas, pero la primera es la que voy a contar ahora.

Sabemos bien que, a contrario de lo que sucede en espacios vectoriales, un submódulo puede no tener un complemento directo (2\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}, por ejemplo). Los módulos semisimples, sin embargo, son bonitos en el sentido que todo submódulo tiene un complemento directo (se dice también que todo submódulo es un sumando directo). La demostración involucra bastante zorniqueo.

Proposición: M es semisimple si y sólo si todo submódulo de M es un sumando directo.

Demostración: (\Rightarrow) Escribamos pues M=\bigoplus_{i\in I} S_i, suma directa de simples, y tomemos un submódulo N\subset M. Veamos que tiene un complemento directo.

¿Quién es el candidato a complemento directo? Y bueno, nosotros queremos que N intersecte trivialmente a nuestro candidato, y nuestro módulo está dado como una suma directa. Así que parece natural pensar que tomaremos la suma directa más grande de los simples tal que intersecta trivialmente a N. Formalmente: si J\subset I,  notemos M_J=\bigoplus_{j\in J} S_j. Consideremos el conjunto

\mathcal{F}=\{J\subset I: M_J\cap N=\{0\}\}.

\mathcal{F}\ne \emptyset, pues \emptyset\in \mathcal{F} (en efecto, M_\emptyset=\{0\} :P)

\mathcal{F} está ordenado por la inclusión, toda cadena está acotada superiormente, entonces por Zorn tiene un elemento maximal que notaremos J.

Como decíamos, nuestro candidato a complemento directo es M_J. Por construcción intersecta trivialmente a N, por lo tanto sólo hay que ver que M=N+M_J, o en otras palabras, que \bigoplus_{i\in I} S_i \subset N+M_J.

Para ver esto, probaremos entonces que S_i\subset N+M_J para todo i. (En el segundo caso, usaremos que para probar esto, basta probar que S_i\cap (N+M_J)\ne \{0\}, de nuevo por simplicidad de S_i).

Si i\in J, esto es obvio, pues en este caso S_i\subset M_J.

Si i\in I\setminus J, entonces por construcción de M_J y su maximalidad, debe ocurrir que (S_i+M_J)\cap N\ne \{0\}. Existe entonces n\in N, n\ne 0 tal que n=x_i+x_J, donde x_i\in S_i, x_J\in M_J.

Entonces x_i=n-x_J\in S_i\cap (N+M_J), y es x_i\ne 0, pues de serlo, se tendría que n=x_J\in N\cap M_J con n\ne 0 lo cual es absurdo pues por construcción de M_J se tiene N\cap M_J=\{0\}.

(\Leftarrow) Esta es más difícil. Así que seamos metódicos.

Paso 1: Todo submódulo N\subset M cumple la misma propiedad que M, es decir: todo submódulo de N tiene un complemento directo (en N).

Sea pues X\subset N submódulo. Entonces X es un submódulo de M y por lo tanto allí tiene un complemento directo: M=X\oplus X' \ \ (*) \ \ . Como X\subset N, entonces intersectar (*) con N preserva la suma directa; es decir, se tiene:

(X\cap N) \oplus (X'\cap N)=N. Entonces si llamo Y=X'\cap N, se tiene X\oplus Y=N.

Paso 2: Todo submódulo \{0\}\neq N\subset M tiene un submódulo simple.

Sea 0\ne x\in N. Consideremos la familia \mathcal{F}=\{Z\subsetneq N: x\not\in Z\}. Es no vacía porque \{0\}\in \mathcal{F}; cumple las hipótesis del lema de Zorn así que existe Z un elemento maximal.

Por el Paso 1, Z tiene un complemento directo en N: se tiene N=Z\oplus Y. Afirmo que Y es el submódulo simple de N buscado.

Por absurdo, supongamos que existe \{0\}\neq Y' \neq Y submódulo. De nuevo por el Paso 1, Y' tiene un complemento en Y, es decir, Y=Y'\oplus Y''. Entonces se tiene N=Z\oplus Y = Z\oplus Y'\oplus Y''.

Afirmo que x no está en alguno de estos dos: Z\oplus Y' ó Z\oplus Y''. Esto terminaría la demostración de este paso, pues como Y'\ne\{0\} y Y''\neq \{0\}, se tendría que Z\oplus Y' ó Z\oplus Y'' violaría la maximalidad de Z.

Y bueno, en caso contrario se tendría que x\in (Z\oplus Y')\cap (Z\oplus Y'')=Z, porque Y'\cap Y''=\{0\}. Esto es absurdo por construcción de x.

Paso 3: M es suma de simples.

Consideremos el submódulo T que es suma (¡no necesariamente directa!) de todos los submódulos simples de M.

Si T\subsetneq M, entonces tendría un complemento directo: M=T\oplus H. Por el Paso 2, H tiene un submódulo simple S. Se tiene entonces S\subset H\cap T, porque obviamente también S\subset T por construcción de T. Absurdo, pues S\ne \{0\} (por simple) y H\cap T=\{0\} porque suman directo M.

Paso 4: M es suma directa de simples.

Tenemos entonces, por el Paso 3, M=\sum_{i\in I} S_i simples. Ahora hago lo lógico: si quiero ver M como una suma directa, considero la mayor “subsuma” directa (Zorn) y veo que en realidad es M. Formalmente, consideremos

\mathcal{F}=\{J\subset I: \sum_{j\in J} S_j=\bigoplus_{j\in J} S_j\}. Es no vacía porque \emptyset\in \mathcal{F}. Es un orden parcial en las hipótesis de Zorn, así que tiene un elemento maximal: D\subset I.

Afirmo, como había dicho, que \bigoplus_{t\in D} S_t=M.

En caso contrario, entonces la suma directa tendría un complemento X\subset M, i.e. M=\bigoplus_{t\in D} S_t \oplus X=M.

Por el Paso 2, X contiene un submódulo simple, S_h\subset X. Como X\cap \bigoplus_{t\in D} S_t = \{0\}, entonces S_h\cap \bigoplus_{t\in D} S_t = \{0\}, y por lo tanto se tiene que:

\sum\limits_{t\in D\cup \{h\}} S_t =\bigoplus\limits_{t\in D\cup\{h\}}S_t, y además h\neq t para todo t\in D, y S_h\neq S_t para todo t\in D pues S_h\neq \{0\}. En conclusión, D\cup \{h\} contradice la maximalidad de D, llegando a un absurdo.

Entonces \bigoplus_{t\in D} S_t=M y hemos terminado la prueba. \square

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