Evitando la locura

Voy a escribir una demostración sobre un tema del cual no voy a definir las nociones, etc. Simplemente lo voy a hacer porque al escribir es cuando encuentro los agujeros, y esta demostración es de esas que en todos lados están en tres líneas pero a mí no me convencen. Allá voy.

Proposición: Sea R un anillo y M un R-módulo. Si M no admite una extensión esencial propia, entonces M es inyectivo.

Demostración: Meto M en un inyectivo: i:M\to E.
Si esto es una extensión esencial, hemos terminado, pues al no poder ser propia debe ser i(M)\simeq E, luego M\simeq E que es inyectivo, luego M lo es.
Si esto no es una extensión esencial: entonces,

existe \{0\}\subsetneq S \subset E submódulo tal que S\cap i(M)=\{0\}.

Ahora considero el maximal respecto de esa propiedad. Más formalmente, sea

\mathcal{F}=\{X submódulo: S\subset X\subset E tal que X\cap i(M)=\{0\}\}

Está parcialmente ordenado por la inclusión, y cumple las hipótesis del lema de Zorn, así que tiene un elemento maximal N\in \mathcal{F}.

Con este N me fabrico una extensión esencial: si \pi:E\to E/N es la proyección, entonces afirmo que \pi i:M\to E/N es una extensión esencial. Demuestro esta afirmación al final. [Esto es intuitivo y razonable: N es el maximal que impide que i sea una extensión esencial. Así que lo matamos, y conseguimos una extensión esencial :P]

Teniendo eso probado, se tiene que no puede ser propia, y por lo tanto \pi i: M\to E/N es un isomorfismo. Notando K al conúcleo de i, esto implica que

0\to M \stackrel{i}{\to} E \to K\to 0 se escinde. En efecto, i es una sección, con inversa por izquierda (\pi i)^{-1}\pi. Tenemos entonces que E\simeq M\oplus K. Entonces M es sumando directo de un inyectivo, y por lo tanto es inyectivo y hemos terminado. Ahora, la afirmación:

Afirmación: \pi i:M\to E/N es una extensión esencial.
Demostración: \pi i es inyectiva. En efecto, ker(\pi i)=ker \pi \cap i(M)=N\cap i(M)=\{0\} pues N\in \mathcal{F}.

Es esencial: sea \{0\}\ne K\subset E/N submódulo; veamos que K\cap \pi i(M)\neq \{0\}.

Por la correspondencia de los submódulos del cociente, se tiene que K=\pi(K'), donde K' es tal que N\subsetneq K'\subset E.

Como N es el elemento maximal de \mathcal{F}, debe ser necesariamente K'\cap i(M)\ne \{0\}. Por lo tanto:

K\cap \pi i(M)=\pi(K')\cap \pi i(M)=\pi(K'\cap i(M))\ne \{0\}

En efecto, si fuera \pi(K'\cap i(M))=\{0\}, se tendría que K'\cap i(M)\subset N. Pero esto no puede ser, porque al ser i(M)\cap N=\{0\}, se tendría K'\cap i(M)=\{0\} que recién dijimos que no pasa. \square

Pregunta: ¿dónde diantre usé que S\ne \{0\}?

Creo que no hay problema, porque no estoy usando en realidad que i:M\to E es esencial. O sea, el quid de la cuestión está en la división en casos del comienzo. ¿Qué problema hay si todo S\ne \{0\} que yo me tome cumple S\cap i(M)\ne \{0\}? Exactamente ninguno, porque en ese caso la extensión es esencial y vale la prueba del comienzo. O sea, en realidad la división en casos es innecesaria. Es que directamente el S me lo podría tomar nulo y santas pascuas.

Es decir, la prueba se puede acortar (mínimamente)  empezando directamente considerando la familia \mathcal{F}, que es no vacía justamente gracias al submódulo nulo.

¿Ventajas? Acortamos un poquito. ¿Desventajas? Y bueno, toda la idea de la demostración es encontrarle una extensión esencial a M, que nos la armamos a partir del encaje en un inyectivo que siempre tenemos. Parece un poco tonto armarse una extensión esencial con el lema de Zorn cuando directamente podemos considerar el propio encaje, ¿no? 😛 Aunque en realidad al final de cuentas si la extensión es esencial, se va a tener \mathcal{F}=\{0\}, y la que nos habremos construido será la misma 😉 Bah, al final de cuentas es una cuestión de whimsical choice.

Ahh, ahora puedo respirar tranquilo. Son divertidas estas disecciones minuciosas, de vez en cuando.

(Aclaro igual que no era sólo lo de S\ne \{0\} que me estaba molestando. Es que, de hecho, la demostración hecha en Rotman está mal presentada, porque apela a un ejercicio en el cual a priori no se está en las hipótesis (justamente Rotman no chequea la afirmación), y que de hecho no es necesario usar.)

[Actualizado el 02/02/12… había un error estúpido que pasaba por asumir que un cociente de un inyectivo es inyectivo, lo cual es falso. Pero era fácilmente arreglable.]

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Una respuesta a Evitando la locura

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