Restricción y extensión de escalares

Como ya lo he usado más de una vez en posts recientes, voy a explayarme un poquito sobre esta cuestión.

Notación: Si M es un R-módulo, notaré {}_RM. (Como voy a estar cambiando de anillos, esta notación, que es estándar de hecho, va a ser cómoda).

Restricción de escalares. Sean R,S anillos, y f:R\to S un morfismo de anillos. Hay una manera trivial de asociarle a {}_SM un R-módulo: tomo M con la misma suma, y defino una acción de R como r\cdot m=f(r)m.

Es evidente que esta construcción es functorial: a un morfismo \varphi:{}_SM \to {}_SN le asocia un morfismo \varphi: {}_RM\to {}_RN trivialmente (el nuevo morfismo se define igual en cada elemento, y es directo observar que respeta la acción de R)

Tenemos entonces un functor S-Mod \to R-Mod. Para enfatizar que depende de f, lo notaré f_\star. Este functor resuelve un problema universal, a saber, el de asociarle a un S-módulo un R-módulo de la mejor manera posible. Esto es bastante obvio pues le hemos asociado a M el propio M con otra acción.

No hay mucho más que hacer con esto. Observar sencillamente que es de interés el caso cuando f es una inclusión de un subanillo en un anillo. Ya conocíamos un caso particular de esto. Y es que todo \mathbb{C}-espacio vectorial es fácilmente un \mathbb{R}-espacio vectorial.

Ahora pasamos a la parte más interesante, que es el “proceso inverso” de intentar convertir un R-módulo en un S-módulo “de la mejor manera posible”. En particular obtendremos la mejor manera de “complejificar” un espacio vectorial real, que a veces puede ser útil.

Extensión de escalares. Como antes, sea f:R\to S morfismo de anillos. Ahora buscamos una manera (functorial y universal) de asociarle a un {}_RM un S-módulo. En este caso no es tan sencillo como “tomar el mismo grupo abeliano y cambiarle la acción” como hiciéramos arriba.

Sea entonces un {}_RM. Con la acción regular, S es un S-módulo. A través de la restricción de escalares, podemos ver a S como un R-módulo. En particular, podemos entonces tensorizar S con M, es decir, considerar el R-módulo S\otimes_R M.

Ahora bien, no nos olvidemos que S viene con su estructura de S-módulo que no estamos realmente usando en ese producto tensorial. Gracias a esto es que podemos convertir ese producto tensorial en un S-módulo, haciendo lo obvio:

s\cdot(s'\otimes m):= (ss')\otimes m

para todo s,s'\in S, m\in M.

Gracias al producto tensorial, le hemos asociado a un R-módulo un S-módulo. Estos están vinculados mediante el R-morfismo {}_RM \to S\otimes_R M tal que m\mapsto 1\otimes m. Lo notaremos, obviamente, como 1\otimes id_M.

Como antes, observar que la extensión de escalares es functorial, usando que el propio producto tensorial es functorial. Tenemos entonces un functor R-Mod\to S-Mod que notaré f^\star para enfatizar que depende de f.

Esta asociación fue muy natural (no tuvimos que hacer ninguna elección arbitraria que dependiera de cómo era en particular el {}_RM), lo cual se formaliza diciendo que tenemos la

Propiedad universal de la extensión de escalares. Sea {}_RM. Para cada {}_SN y cada R-morfismo {}_RM \to {}_RN (donde a N le estoy aplicando restricción de escalares) existe un único S-morfismo {}_S\tilde{\varphi}:S\otimes_R M\to {}_SN que hace conmutar el siguiente diagrama:

Estamos diciendo exactamente que f^\star es adjunto a izquierda de f_\star; a saber, dado un {}_RM, para cada {}_SN hay un isomorfismo natural

Hom_S(M\otimes_R S,N)\cong Hom_R(M,Res^S_R N),

donde estamos notando Res^S_R N a la restricción de escalares de {}_SN a R.

Aclaro ahora la frase tachada de arriba: hay otra cosa interesante para hacer con la restricción de escalares f_\star. Resulta que no sólo tiene adjunto a izquierda f^\star, además tiene adjunto a derecha, dado por el functor f^!:R-Mod\to S-Mod, M\mapsto Hom_R(S,M).

Por abstract nonsense, al tener f^\star adjunto a derecha, es exacto por derecha (¡ya lo sabíamos!); al tener f_\star adjunto a ambos lados, es exacto; y al tener f^! adjunto a izquierda, es exacto a izquierda.

Podría explotar estas cuestiones, pero mi intención era sólo dar un primer acercamiento a la extensión de escalares.

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2 respuestas a Restricción y extensión de escalares

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