De módulos libres, generadores, e independencia lineal (2)

En el post anterior, probamos que si A es un anillo conmutativo, entonces tiene NBI, es decir, A^n\simeq A^m\Rightarrow n=m.

Es decir, los anillos conmutativos cumplen la propiedad de que si un módulo libre tiene dos bases de cardinales n y m, entonces n=m.

Pero una base es un conjunto que es dos cosas: linealmente independiente y generador. Podemos entonces desglosar lo que demostramos y hacernos la siguiente pregunta (con la motivación adicional, además, de que sí es cierto en espacios vectoriales): si A es un anillo, consideramos las siguientes dos propiedades

1) Si A^n tiene un generador con m elementos, entonces m\geq n,
2) Si A^n tiene un subconjunto l.i. con m elementos, entonces m \leq n.

Si un anillo cumple 2), automáticamente cumple 1), como observaremos en un segundín. Si un anillo cumple 1), entonces tiene NBI. En efecto, si A^n\simeq A^m, entonces A^n tiene un generador con m elementos, de donde m\geq n; análogamente n \geq m.

Estamos entonces considerando condiciones que son más fuertes que tener NBI. Hay ejemplos de anillos que tienen NBI y no cumplen 1), y ejemplos de anillos que cumplen 1) pero no 2). Ver parágrafo 1 del capítulo 1 de Lam, Lectures on Modules and Rings.

Lo primero que quiero observar es que otra manera de enunciar estas propiedades es esta:

1′) Si A^m \to A^n \to 0 es un epimorfismo, entonces m\geq n,
2′) Si 0\to A^m \to A^n es un monomorfismo, entonces m\leq n.

Esto se deduce de que dado un módulo M, es equivalente que tenga un generador con m elementos a que admita un epimorfismo A^m\to M \to 0 (análogamente con l.i. y mono).

En efecto, si tenemos un tal epi, como un epi lleva generadores en generadores, conseguimos un generador con m elementos en M.

Si tengo un generador de M con m elementos \{g_1,\dots,g_m\}, y si \{e_1,\dots,e_m\} es una base de A^m, entonces defino mi morfismo como e_i\mapsto g_i, y es un epi justamente por que \{g_1,\dots,g_m\} es un generador.

[Esta formulación de conjuntos generadores y l.i. como epis/monos con libres me gusta mucho, porque sólo usa flechas y sus propiedades, y muestra que en algún sentido, l.i. y generador son conceptos “duales”. Más evidencia de que traducir los conceptos más sencillos en términos categóricos puede aportar un insight interesante.]

Con esta formulación es más cristalino probar que la segunda condición implica la primera.

Proposición: Dado un anillo A, si cumple 2′) entonces cumple 1′).
Demostración: Sea A^m\to A^n \to 0 un epimorfismo. Como termina en un libre, entonces es una retracción (toda sucesión exacta corta que termina en un libre se escinde). Existe entonces un mapa A^n\to A^m que es una sección, en particular es un monomorfismo, y por lo tanto n\leq m que es lo que queríamos probar. \square

Ahora, la versión más fuerte de que todo anillo conmutativo tiene NBI (con detalles resumidos por ser la técnica la misma que en la prueba del susodicho):

Teorema: Todo anillo conmutativo cumple 1).
Demostración: Mismo truco que en el post anterior. Sea A anillo conmutativo. Sea A^m \to A^n \to 0 un epimorfismo.

Sea I un ideal maximal. Extiendo escalares al cuerpo A/I=:k, i.e. aplico k\otimes_A - al epimorfismo, obteniendo (suma directa conmuta naturalmente con tensor; tensor por el anillo da naturalmente el módulo) un epimorfismo k^m \to k^n \to 0.

¿Por qué epi? Porque el tensor es exacto a derecha 🙂 Tenemos entonces un epimorfismo de k-espacios vectoriales, de uno de dimensión m a uno de dimensión n, luego m\geq n. \square

Observar que la propia prueba sugiere que lo que probamos es más fuerte (si bien ya lo probáramos antes). Cuando probamos que todo anillo conmutativo tenía NBI, usamos que el tensor preserva isomorfismos, lo cual es una observación trivial; aquí usamos que preserva epis, que ya es un poquito menos trivial.

El tensor no preserva monomorfismos, así que probar que todo anillo conmutativo satisface 2) va a tener que ir por otro lado; no me voy a meter con esa prueba, al menos por ahora.

Ahora quiero comentar una última cosita.

Definición. Sea A un anillo. Un A-módulo es hopfiano (resp. cohopfiano) si todo endomorfismo sobreyectivo (resp. inyectivo) de A es un isomorfismo.

Ahora, propiedades aún más fuertes.

3) Todo generador de A^n con n elementos es una base.
4) Todo conjunto l.i. de A^n con n elementos es una base.

En virtud de nuestras observaciones anteriores, estas propiedades se pueden enunciar de manera más pipí-cucú:

3′) Todo A-módulo finitamente generado es hopfiano.
4′) Todo A-módulo finitamente generado es cohopfiano.

Es un teorema de Vasconcelos (que está en las primeras páginas del libro de Matsumura de álgebra conmutativa) que todo anillo conmutativo cumple 3′).

Leo en el artículo (K. Varadarajan, Hopfian and Cohopfian objects) que un anillo conmutativo cumple 4′) si y sólo si todos sus ideales primos son maximales. Se ve que la propiedad 4 ya es demasiado polenta para los anillos conmutativos 😉

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