Formas diferenciales revisitadas

Voy a dar una nueva definición de una forma diferencial “en una variedad” (ahora explicaré las comillas), que a mí modo de ver tiene grandes ventajas (pero es comprensible que no sean las primeras que uno ve).

Primero. Las comillas son porque esto a priori sólo sirve localmente. Es decir, dada una variedad M, voy a definir una forma diferencial en un entorno coordenado de M. No sé si este approach se puede generalizar a una variedad en general (hoy le pregunté a M. y me dijo que no tenía en mente esta construcción, que se va a fijar, pero que le parece que puede tener problemas, por cosas como el teorema de la bola peluda del cual ya hablara).

Bien. Como vamos a trabajar en un entorno coordenado, entonces es lo mismo que trabajar en un abierto de \mathbb{R}^n, así que lo haremos por comodidad. Sea U\subset \mathbb{R}^n abierto. Notemos V=(\mathbb{R}^n)^* (acá la importancia de \mathbb{R}^n es que es el espacio tangente a U en cada punto).

Tenemos \Lambda^k(V), el espacio de las k-formas mulilineales alternadas en el \mathbb{R}-espacio vectorial V. Ahora bien, lo que queremos es, a cada punto de U asociarle un elemento de \Lambda^k(V), de manera que “varíe diferenciablemente con el punto”.

Lo que queremos hacer, entonces, ¡es ver \Lambda^k(V) como un C^\infty(U)-módulo! Meditando un poco lo que acabo de decir, confío en que el lector se convenza de que esto es exactamente la traducción formal de las comillas informales del párrafo anterior.

Entonces, lo que queremos hacer, ¡es agrandar el anillo! Y sí, tenemos \Lambda^k(V) que es un \mathbb{R}-módulo, y queremos verlo como C^\infty(U)-módulo. Pero hay un morfismo de anillos obvio \mathbb{R} \to C^\infty(U): el mapa que a cada número real le asocia la función que vale constante ese número real.

¡Entonces podemos hacer extensión de escalares! La extensión de escalares me da, en este caso, la “mejor” (en un sentido universal) manera de asociarle al \mathbb{R}-espacio vectorial \Lambda^k(V) un C^\infty(U)-módulo: el resultado es \Omega^k(U):=C^\infty(U) \otimes_{\mathbb{R}} \Lambda^k(V).

Dos observaciones para hacer. La primera, es que es obvio que esta definición coincide con la usual: en efecto, como \{dx_{i_1}\wedge \dots \wedge dx_{i_k}\} es una base de \Lambda^k(V), y cualquier elemento de nuestro módulo es suma de tensores elementales, entonces un elemento arbitrario de nuestro nuevo \Omega^k(U) es un elemento de la forma \sum a_{i_1,\dots,i_k} \otimes dx_{i_1}\wedge \dots \wedge dx_{i_k} donde a_{i_1,\dots,i_k}\in C^\infty(U). Es ahora evidente por qué esta definición coincide con la usual.

La segunda observación, es que el morfismo de anillos \mathbb{R} \to C^\infty(U) que consideramos arriba es el que está capturando formalmente el artilugio que debíamos considerar en la definición de Cálculo III: el de considerar una “forma diferencial dx_i:U \to \Lambda^k(V), que en cada punto de la variedad vale constante la forma multilineal alternada dx_i\in\Lambda^k(V)“. Con esta definición nos deshicimos de ese artilugio molesto pero necesario para que las cosas vivieran donde tenían que vivir y todo estuviera bien definido.

Así, conseguimos una definición a mí gusto mucho más natural y elegante. Además conseguimos ver esta construcción como un caso y una motivación particulares de algo más general: ¡la extensión de escalares! Me deja muy satisfecho ver esta definición.

Bien. Ahora, esta definición a priori es local: cómo conseguir llevarla a una definición global en una variedad es algo que por ahora me elude.

Cuando le comenté esto a M., me dijo algo así como: muy bien, ¡pero no entiendo por qué no te gusta verlo como una sección de un fibrado!

No es que no me guste, M., es que no lo entiendo aún 😉 pero con lo poco que he leído creo que me llega a convencer. Además, da una definición de una forma en una variedad abstracta, lo cual aún no había visto.

Esbozo a continuación mi escaso conocimiento de esta definición, con escasos detalles:

“Recordemos” que el fibrado cotangente T^*M a una variedad M es, informalmente, el conjunto de los (p,\alpha) donde \alpha\in (T_pM)^*; tiene una estructura de variedad (abstracta).

 Definición: Sea M una variedad. Sea T^*M su fibrado cotangente. Entonces una k-forma diferencial en M es una sección de \Lambda^k(T^*M), es decir, una función diferenciable \omega: M\to \Lambda^k(T^*M) tal que \omega(p)\in \Lambda^k((T_pM)^*) (i.e. \omega es una sección de \Lambda^k(T^*M).

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