Series con velocidad de convergencia mínima

Una pregunta natural que uno se puede hacer en cálculo 1 es: ¿existen series reales de términos positivos cuya velocidad de convergencia es mínima?

Sabemos que no hay tales series cuya velocidad de convergencia sea máxima, pues por ejemplo si \sum a_n converge, entonces \sum a_n^2 (por ejemplo) obviamente también converge, y converge más rápidamente.

Nuestra pregunta es bastante más sutil. Probaremos por absurdo que no existe una tal serie, usando técnicas de análisis funcional y topología.

Supongamos que sí, existe una sucesión a=(a_n)\subset (0,+\infty) tal que \sum a_n <\infty (i.e. a\in \ell^1), y además si (x_n)\subset (0,+\infty) es tal que \sum a_nx_n converge entonces (x_n) debe ser una sucesión acotada.

(Primero que nada, el lector deberá convencerse que lo que estamos suponiendo es efectivamente decir que la sucesión a es tal que su velocidad de convergencia es mínima.)

Recordemos primero que nada lo que son \ell^\infty y \ell^1. Se define, para una sucesión x=(x_n)\subset \mathbb{R}, las normas \lVert (x_n) \rVert _1=\sum \lvert x_n \rvert, y \lVert (x_n) \rVert _\infty=\sup \lvert x_n\rvert. Ahora se define:

\ell^1=\{(x_n)\subset \mathbb{R}: \lVert (x_n) \rVert_1 <\infty\}
\ell^\infty=\{(x_n)\subset\mathbb{R}:\lVert (x_n)\rVert_{\infty}<\infty\}

Así, \ell^1 es el espacio (de Banach) de las sucesiones reales que convergen absolutamente, y \ell^\infty es el espacio (de Banach) de las sucesiones reales acotadas.

Volviendo a nuestro problema, definimos un operador T_a:\ell^\infty \to \ell^1, como T_a(x)=ax.

\lVert T_a(x) \rVert_1=\sum \lvert a_nx_n\rvert \leq \left( \sum a_n \right) \lVert x\rVert_\infty \leq \left( \sum a_n \right) \lVert x\rVert_1

(La última desigualdad se deduce que en los espacios de sucesiones, si p \leq q, entonces \lVert \cdot \rVert_q \leq \lVert \cdot \rVert_p.)

Esta cuenta muestra que T_a(x)\in \ell^1, luego el operador está bien definido, y que además \lVert T_a \rVert \leq \sum a_n <\infty por nuestra asunción sobre la sucesión a. Por lo tanto T_a es un operador acotado.

T_a es inyectiva: T_a(x)=0 \iff a_nx_n=0 para todo n \iff x_n=0 para todo n \iff x=0. Esto se debe a que nuestra a es de términos positivos.

T_a es sobreyectiva: si y \in \ell^1, sea x definida como x_n=\frac{y_n}{a_n}. Se tiene:
\sum a_n \lvert x_n\rvert = \sum a_n \frac{\lvert y_n\rvert}{a_n}=\sum \lvert y_n \rvert=\lVert y\rVert_1<\infty. La hipótesis implica entonces que (x_n) está acotada, i.e. que x\in \ell^\infty. Por lo tanto se tiene T_a(x)=y.

Como \ell^\infty y \ell^1 son espacios de Banach, y T_a es un operador acotado e invertible, entonces  T_a^{-1} también es un operador acotado (teorema de la aplicación abierta).

Tenemos entonces un isomorfismo de espacios de Banach, en particular un homeomorfismo, entre \ell^\infty y \ell^1. ¡Esto es absurdo! En efecto, \ell^\infty no es separable (tomar las sucesiones de ceros y unos, es no numerable, luego la familia de bolas centradas en tales sucesiones y de radio 1/2 es una familia no numerable de abiertos disjuntos dos a dos), mientras que \ell^1 lo es (un denso numerable son las sucesiones de soporte finito y términos racionales).

(¡Gracias a F. por hacer este ejemplo tan elegante en clase!)

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Una respuesta a Series con velocidad de convergencia mínima

  1. Xavi dijo:

    Una forma alternativa (y constructiva) de demostrar este resultado es la siguiente:
    Si la serie $\sum a_n$ converge, entonces la serie $\sum \frac{a_n}{ \sqrt{r_n} }$ también converge, donde $r_n=\sum_{k>n} a_k$.

    Lo mismo se puede hacer para series divergentes: Existe alguna serie $\sum a_n$ divergente que tenga velocidad de divergencia mínima? La respuesta es no, y la forma de demostrarlo es la siguiente.
    Si la serie $\sum a_n$ es divergente, entonces $\sum \frac{a_n}{s_n}$ también lo es, donde $s_n=a_1+…+a_n$.

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