Un teorema de Jacobson (2)

Acá está el pdf que prometí en este post.

En cuanto a la solución del caso cúbico, en el pdf hay una, pero me parece que está un poco desordenada. Encontré una de B. Dubuque que a menos de detalles reproduzco acá. Probemos entonces que en un anillo R, si x^3=x para todo x\in R, entonces R es conmutativo, i.e. x\in Z(R) para todo x\in R, donde Z denota el centro del anillo.

1. ab=0 \Rightarrow ba=0. En efecto, ba=(ba)^3=b(ab)(ab)a=0.

2. c^2=c \Rightarrow c\in Z(R). En efecto, sea c\in R tal que c^2=c. Por un lado, tenemos que:

0=cx-cx=cx-c^2x=c(x-cx). Por 1. esto implica que (x-cx)c=0\Rightarrow xc=cxc. Por otro lado,

0=xc-xc=xc-xc^2=(x-xc)c. De nuevo, 1. implica que c(x-xc)=0\Rightarrow cx=cxc.

En conclusión, xc=cxc=cx, de donde c\in Z(R).

3. x^2\in Z(R)\,\forall x\in R, pues (x^2)^2=x^4=x^3x=x^2, entonces 2. implica que x^2\in Z(R).

4. c^2=2c \Rightarrow c\in Z(R). En efecto, c=c^3=c^2c=2c^2, pero c^2\in Z(R)\Rightarrow 2c^2\in Z(R) pues Z(R)\subset R es un subgrupo, de donde c\in Z(R).

5. x+x^2\in Z(R)\,\forall x\in R pues (x+x^2)^2=(x+x^2)(x+x^2)=x^2+x^3+x^3+x^4=x^2+2x+x^2=2(x+x^2), entonces 4. implica que x+x^2\in Z(R).

Remate: se tiene quex=(x+x^2)-x^2, pero por 5. x+x^2\in Z(R), y por 3. x^2\in Z(R), entonces como Z(R) es un subgrupo, su resta también, de donde x\in Z(R) para todo x\in R. \square

Son un montón de pequeñas cuentas triviales que cuando se juntan dan un resultado no tan trivial.

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2 respuestas a Un teorema de Jacobson (2)

  1. Maru S dijo:

    El publico pide cosas nuevas!
    🙂

  2. Maru dijo:

    Quiero que sepas que estas zafando solo porque “el publico” esta con parciales.. -.-

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