El centro no es functorial

Un eslogan usual para los functores es que “prácticamente cualquier construcción en una categoría es un functor”.

Bien, un ejemplo típico de una construcción que no es functorial es la de “tomar centro” (de un grupo, por tomar un ejemplo). Me acuerdo de haber visto este ejercicio en el MacLane cuando hice el seminario con W., pero nunca terminé de entenderlo del todo por no tener suficiente familiaridad con los grupos de permutaciones. Ahora sí lo entiendo, no es complicado:

Si el centro fuera un functor, sería Z: Grp\to Ab. Consideremos \displaystyle S_2 \stackrel{f}{\to} S_3 \stackrel{g}{\to} S_2, la inclusión: f: \left(\begin{smallmatrix}1&2\\a&b\end{smallmatrix}\right) \mapsto\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\a&b&3\end{smallmatrix}\right) seguida de la proyección g: \left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\a&b&c\end{smallmatrix}\right) \mapsto\left(\begin{smallmatrix}1&2\\a&b\end{smallmatrix}\right).

Su composición es la identidad, así que si Z fuera un functor, entonces Z(g)\circ Z(f)=\mathrm{id}. Esto no es posible.

En efecto, Z(S_2)=S_2, y Z(S_3)=\{0\}, por lo tanto al aplicar Z tenemos \displaystyle S_2 \stackrel{Z(f)}{\to} \{0\} \stackrel{Z(g)}{\to} S_2, y la única tal flecha S_2 \to S_2 es el morfismo nulo, que no es la identidad.

Hemos probado entonces que no hay ninguna manera de definir Z en las flechas de tal modo que quede un functor.

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