(Co)límites

Desde el comienzo de mi vida categórica le tuve un poco de miedo a los (co)límites. Me puse a estudiarlos de nuevo y ahora creo que los entiendo, así que para fijar ideas escribo lo que entendí. Voy a describir primero a los colímites porque los diagramas lindos que encontré están hechos para colímites 😛

Sean \textbf{J} y \mathcal{C} categorías. Pensaremos a la categoría \textbf{J} como una categoría de índices. De hecho, muchas veces se suele tomar pequeña.

Un diagrama (de tipo \textbf{J}) en \mathcal{C} es un functor D: \textbf{J} \to \mathcal{C}.

¿Qué es un conjunto de índices? Es un conjunto en el que no nos importa cuáles son los elementos, sino cuántos son. Pues bien, en una categoría tenemos también morfismos, así que de una categoría de índices lo que nos importa es cuántos son y cómo se relacionan. Así que los pensamos como puntos y flechas: qué objetos hay arriba de los puntos no nos importa.

Un ejemplo de categoría de índices

El functor D es entonces remplazar cada punto por un objeto de \mathcal{C} y cada flecha por un morfismo de \mathcal{C}. Es “poner información” arriba de la categoría de índices; lo mismo que hacemos con un conjunto de índices. Por lo tanto si los objetos de la categoría de índices los escribimos i,j,\dots y las flechas como \alpha:i\to j entonces a sus imágenes por D las notaremos D_\alpha: D_i\to D_j.

Bien. Un cocono a un diagrama D consiste de un objeto C\in \mathcal{C} y una familia de flechas c_j: D_j \to C en \mathcal{C}, una por cada objeto j de \textbf{J}, tal que para cada flecha \alpha:i\to j en \textbf{J}, se tiene que c_j D_\alpha=c_i, i.e. el siguiente diagrama conmuta:

Un cocono es entonces un par (C,c_j), donde C se tiene que pensar como un “vértice”, un objeto al que todos los D_i tiran flechas (las c_i), de tal manera que hacen conmutar las caras del “cono”, como se ve en el siguiente diagrama:

Un cocono¡Bien! Ahora resulta que podemos definir morfismos de coconos. Y sí, dados dos coconos (C,c_j), (C',c_j') a un mismo diagrama D, un morfismo de coconos es una flecha \phi: C \to C' compatible con las flechas, i.e. que hace conmutar el siguiente diagrama para cada \alpha:i\to j en \textbf{J}:

De esta manera, los coconos sobre un diagrama D forman una categoría, la categoría \mathrm{Cocone}(D).

Definición: Un colímite para un diagrama D:\textbf{J}\to \mathcal{C} es un objeto inicial en la categoría \mathrm{Cocone}(D). Notamos \mathrm{colim} D.

Intuitivamente, es el cocono que mejor aproxima al diagrama: dado otro cocono C, hay una única flecha \mathrm{colim} D \to C que hace conmutar todos los triángulos. Es el vértice que “está más abajo”.

x sería un cocono cualquiera C, y L=colim D (me aburría cambiar la leyenda)

Ya tenemos definidos los colímites en una categoría cualquiera. Ahora un límite es un colímite en la categoría opuesta 😛 O, de manera menos haragana, podemos definir un cono igual que un cocono sólo que él tira flechas en vez de recibirlas. Obviamente también forman una categoría, y ahora un límite es un objeto final en la categoría de conos: es el que tira flechas y está más cerca, pues cualquier otro pasa a través de él (de manera única).

Esto generaliza muchas cosas. Por ejemplo, un coproducto es un colímite, y un producto es un límite. Esto es bastante claro: el coproducto recibe flechas de la mejor manera, y el producto tira flechas de la mejor manera. En este caso la categoría \textbf{J} es discreta, es decir, son puntos donde no hay flechas entre objetos distintos.

Un caso particular de producto y coproducto es el de ínfimo y supremo (respectivamente) en un conjunto parcialmente ordenado. En particular, ínfimo y supremo son casos particulares de límite y colímite. Esto va de la mano con la intuición e indica que los (co)límites están muy relacionados con los problemas universales 🙂

También los igualadores y los pullbacks son límites (y los coigualadores y los pushouts son colímites). En el caso de un igualador, es tomar la categoría de índices como una categoría con dos objetos y dos flechas diferentes entre ellos; en el caso de un pullback, es tomar la categoría de índices como una categoría con tres objetos \{a,b,c\} y flechas a \to c, b\to c.

Estos son los (co)límites categóricos. En el próximo post discutiré los límites algebraicos, llamados “límites proyectivos” y “límites inductivos”, o “límite inverso” y “límite directo”, y si me da la voluntad construiremos el p-grupo de Prüfer como límite directo 🙂

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Una respuesta a (Co)límites

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