La correspondencia de Galois como una adjunción

Sea F\subset K una extensión de cuerpos (finita) de Galois. El teorema fundamental de la teoría de Galois dice, entre otras cosas, que hay una correspondencia biyectiva que invierte inclusiones entre los subgrupos del grupo de Galois \mathrm{Gal}^K_F y el conjunto de cuerpos intermedios F\subset L \subset K ordenados por inclusión. Permítanme notar \mathrm{Int}^K_F a este conjunto. La correspondencia está dada por: a un subgrupo H < \mathrm{Gal}^K_F le asocio su cuerpo fijo, \mathrm{Fix}(H), y a un cuerpo intermedio L le asocio el subgrupo del grupo de Galois, \mathrm{Gal}^K_L.

Pues bien, en esa afirmación no estamos diciendo nada propiamente sobre el hecho de que se trate de grupos y de cuerpos, ¿verdad? Lo único que estamos haciendo es relacionar la estructura de conjunto parcialmente ordenado que tienen mediante Fix y Gal, y estas dos operaciones, Fix y Gal, son “anti-inversas una de la otra”.

Bien, observemos ahora que un conjunto (L,\leq) parcialmente ordenado es una categoría, cuyos objetos son los elementos de L y ponemos una flecha x \to y si y sólo si x \leq y. Es ahora claro que una función monótona entre conjuntos parcialmente ordenados (i.e. un morfismo de posets) es lo mismo que un functor entre sus categorías asociadas. Además, una función anti-monótona es lo mismo que un functor contravariante. O sencillamente podemos cambiar el orden en el codominio, considerando x \to y si y sólo si x \geq y, o, lo que es lo mismo, considerando la categoría opuesta, como siempre que queremos ver un functor contravariante como uno covariante 😉 Haremos esto.

En particular, \mathrm{Gal}^K_F\mathrm{Int}^K_F son categorías. Decir que Fix y Gal son functores entre ellas es decir que preservan el orden (que acabamos de invertir, recordemos).

Bien, expresamos en términos categóricos qué significa que se inviertan las inclusiones. Pero vale algo más fuerte, que se obtiene al observar que estos dos functores son adjuntos 🙂

Recordemos que esto se puede interpretar con los hom-sets de la siguiente manera: para cualquier H < \mathrm{Gal}^K_F y F\subset L \subset K, se tiene que \mathrm{Hom}(\mathrm{Fix}(H),L)\cong\mathrm{Hom}(H,\mathrm{Gal}^K_L), donde \cong indica biyección.

Estamos diciendo entonces que \mathrm{Fix}(H)\supseteq L si y sólo si H\subseteq \mathrm{Gal}^K_L, lo cual es cierto.

De paso, esto explica por qué hay gente que dice que los functores adjuntos se pueden pensar como “inversas generalizadas”.

Una nota: un par de functores adjuntos entre sendos posets se llama, en general, una conexión de Galois. La correspondencia de Galois usual es un ejemplo de conexión de Galois donde los dos functores son biyecciones.

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