Un teorema de Jacobson

Es un ejercicio sencillo probar que todo anillo que satisface x^2=x (un anillo de Boole) para todo x es un anillo conmutativo: basta desarrollar (x+y)^2 y observar que todo elemento es su propio opuesto.

Es un ejercicio bastante menos sencillo probar que vale lo misma conclusión pero con x^3=x. En algunos días colgaré la solución a este ejercicio.

Uno puede preguntarse si vale en general, es decir: si existe un n \in \mathbb{N} tal que x^n=x para todo x, ¿es nuestro anillo conmutativo?

Lo es. Este es un teorema de Jacobson, cuya demostración puede encontrarse por ejemplo en la página 73 del libro de Herstein “Noncommutative Rings”.

Jacobson en realidad mostró más aún, y es que podemos elegir el exponente de manera que dependa de x. Es decir: si para todo x existe un natural n(x), que depende de x, tal que x^{n(x)}=x, entonces el anillo es conmutativo.

Encontré un pdf con una prueba suficientemente “elemental” (y como todas las demostraciones elementales de teoremas complicados, con una pinta de ser un engorro terrible) que usa el teorema de Artin-Wedderburn de clasificación de los anillos semisimples (¡que lo vimos en álgebra homológica!). Postearé el link junto a la solución del caso cúbico, más adelante.

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Una respuesta a Un teorema de Jacobson

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