El determinante es una transformación natural

El siguiente post exhibe (con bastante detalle) dos construcciones usuales en álgebra como functores, la de “tomar grupo de matrices n\times n” y la de “tomar grupo de unidades”, y muestra que se relacionan naturalmente via el determinante. Es un ejemplo sencillo que muestra efectivamente cómo un functor se puede pensar como una “construcción”, y cómo una transformación natural es una “relación entre las construcciones”.

Sea CRings la categoría de anillos conmutativos con sus morfismos de anillos, y Grp la categoría de grupos con sus morfismos de grupos.

Entonces dado n natural, \mathrm{GL}_n: CRings \to Grp es un functor. En efecto, a un anillo conmutativo R le asocia el grupo multiplicativo de matrices invertibles con coeficientes en R, \mathrm{GL}_n(R), y a un morfismo de anillos f:R\to S le asocia un mapa \mathrm{GL}_n(f):\mathrm{GL}_n(R) \to\mathrm{GL}_n(S) tal que \mathrm{GL}_n(f)((a_{ij}))=(f(a_{ij})).

Observar que \mathrm{GL}_n(f) efectivamente es un morfismo de grupos. En efecto, \mathrm{GL}_n(f)((a_{ij})(b_{ks}))=\mathrm{GL}_n(f)((a_{ij}))\cdot \mathrm{GL}_n(f)((b_{ks})), porque f es un morfismo de anillos, y una entrada del producto de las matrices es una combinación lineal.

Además, \mathrm{GL}_n lleva el morfismo de anillos identidad en el morfismo de grupos identidad, y respeta la composición: \mathrm{GL}_n(g\circ f)= \mathrm{GL}_n(g) \cdot \mathrm{GL}_n(f) obviamente.

Tenemos otro functor que es “tomar grupo de invertibles”. Recordemos que dado un anillo R, uno consigue U(R) el grupo multiplicativo de unidades de R. Pues bien, esta U es un functor. A un morfismo de anillos f:R\to S le asocia U(f): U(R) \to U(S) donde U(f) actúa como f (obviamente es un morfismo de grupos).

Verificar que U es un functor es verificar que U(id)=id y U(g\circ f)=U(g)\circ U(f), lo cual es obvio.

Afirmo que el determinante es una transformación natural entre estos dos functores: \mathrm{det}: \mathrm{GL}_n \to U.

Para ver esto tenemos que verificar que el determinante satisface la condición de naturalidad, que no es nada más que la conmutatividad del siguiente diagrama para cualquier morfismo f:R\to S:

Pero esto es bastante obvio también: en efecto, como f es un morfismo de anillos y \mathrm{det}((a_{ij})) es un polinomio en las entradas (sumas y productos), entonces f(\mathrm{det}((a_{ij}))=\mathrm{det}((f(a_{ij})), y ya está.

¡Eso fue divertido! Escenas del próximo capítulo: por qué en dimensión finita un espacio vectorial es naturalmente isomorfo a su doble dual, pero con su dual un isomorfismo no es natural.

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