Categorías como estructuras; categorías de módulos; representaciones

Cuando armé mi exposición para el último seminario de categorías, sobre categorías abelianas, había una parte que quedaba medio colgada, porque si bien usaba la noción de “categoría preaditiva” que iba a introducir, el resto eran aplicaciones (o ni tanto) sumamente interesantes pero colgadas.

Como además tienen un prerrequisito técnico categórico casi nulo, me pareció bueno rescatarlo y adaptarlo para ponerlo acá.

Leinster hace una distinción sobre la relación entre las categorías y las estructuras: podemos ver “categories of structures”, por ejemplo las categorías de grupos, de espacios vectoriales… o “categories as structures”. Es decir, ver una categoría propiamente como una estructura. El ejemplo primordial es el siguiente:

Sea M un monoide. Podemos verlo como una categoría con un sólo objeto, y una flecha por cada elemento de M, siendo la composición de flechas el producto del monoide. Notaremos esta categoría por \mathcal{C}_M. Recíprocamente, toda categoría con un sólo objeto es un monoide. Esto no sorprende si miramos los axiomas de categoría y de monoide: “la composición es asociativa”, y “existe una flecha identidad”, versus “la operación es asociativa” y “existe un neutro para la operación”.

Si M=G es un grupo, en la categoría \mathcal{C}_G todas las flechas son isomorfismos. Recíprocamente, toda categoría con un sólo objeto y tal que todas sus flechas son isomorfismos es un grupo.

En particular, si R es un anillo es un grupo abeliano, y notaremos \mathcal{C}_R a la categoría recién descrita.

Esto nos da ejemplos de categorías como estructuras (hay muchísimos otros: cualquier preorden es una categoría, por ejemplo, y esto suele ser muy útil, por ejemplo para enunciar el teorema fundamental de la teoría de Galois en términos categóricos, que pretendo hacerlo pronto). Pongámoslos al uso: estos ejemplos nos permiten generalizar las nociones de anillo, de módulo y de representación.

AGREGO (2/9/11) Hojeando unas notas de Leinster sobre categorías, encontré esta excelente explicación informal de por qué efectivamente un grupo es una categoría con un sólo objeto y todas las flechas invertibles:

The first time you meet the idea that a group is a kind of category, it’s tempting to dismiss it as a coincidence or a trick. It’s not: there’s real content. To see this, suppose your education had been shuffled and you took a course on category theory before ever learning what a group was. Someone comes to you and says:
‘There are these structures called “groups”, and the idea is this: a group is what you get when you collect together all the symmetries of a given thing.’
‘What do you mean by a “symmetry”?’ you ask.
‘Well, a symmetry of an object X is a way of transforming or mapping X into itself, in an invertible way.’
‘Oh,’ you reply, ‘that’s a special case of an idea I’ve met before. A category is the structure formed by lots of objects and mappings between them—not necessarily invertible. A group’s just the very special case where you’ve only got one object, and all the maps happen to be invertible.’

—————————-

Una categoría preaditiva es una categoría en la que podemos sumar morfismos de manera compatible con la composición. Más formalmente:

Definición: Decimos que una categoría \mathcal{C} es preaditiva si Hom_{\mathcal C}(A,B) es un grupo abeliano para todo A,B objetos de \mathcal{C}, y además la composición de morfismos en \mathcal{C} es biaditiva, i.e. (g+g')f=gf+g'f,\hspace{.6cm} g(f+f')=gf+gf' para todo f,f'\in Hom_{\mathcal{C}}(A,B), g,g'\in Hom_{\mathcal{C}}(B,C).

Un functor F:\mathcal{C} \to \mathcal{D} entre categorías preaditivas es aditivo si a nivel de flechas es un morfismo de grupos abelianos, i.e. si F:Hom_{\mathcal C}(A,B) \to Hom_{\mathcal D}(F(A),F(B)) cumple F(f+g)=F(f)+F(g) para todo f,g \in Hom_{\mathcal{C}}(A,B).

Observemos que:

1) La composición de functores aditivos es un functor aditivo, y el functor identidad es aditivo. Por lo tanto tenemos una subcategoría de \textbf{Cat} cuyos objetos son las categorías pequeñas preaditivas y cuyos morfismos son los functores aditivos.

2) Si \mathcal C es una categoría pequeña y \mathcal D es una categoría preaditiva, entonces la categoría de functores \textbf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D) es preaditiva, con la suma de transformaciones naturales punto a punto.

3) Si \mathcal C y \mathcal D son categorías preaditivas, con \mathcal C pequeña, entonces la categoría de functores aditivos \textbf{Add}(\mathcal C,\mathcal D) es una categoría preaditiva (es una subcategoría de \textbf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)).

En una categoría preaditiva, se tiene que para cualquier objeto A, el conjunto de endomorfismos de A, Hom_{\mathcal C}(A,A) es un anillo con la composición como producto.

Recíprocamente, cualquier anillo es el conjunto de endomorfismos de un objeto de alguna categoría preaditiva. En efecto, sea R un anillo. Entonces claramente \mathcal{C}_R es una categoría preaditiva, y el conjunto de endomorfismos de su único objeto es R.

De esta manera, es lo mismo dar un anillo que dar una categoría preaditiva con un sólo objeto. Esto nos da una definición puramente categórica de un anillo: es una categoría preaditiva con un sólo objeto :). A su vez esto nos permite ver a las categorías preaditivas con más de un objeto como generalizaciones de los anillos. Si R y S son anillos, un homomorfismo de anillos R\to S se corresponde con un functor aditivo F:\mathcal{C}_R \to \mathcal{C}_S.

Ahora damos una definición categórica de un módulo, y veremos cómo es una generalización de los módulos sobre un anillo.

Definición: Sea \mathcal C una categoría preaditiva. La categoría de módulos de \mathcal C es \textbf{Mod}(\mathcal C):=\textbf{Add}(\mathcal C,\textbf{Ab}).

Ejemplo: Sea R un anillo y tomemos \mathcal{C}=\mathcal{C}_R. Notemos \star al único objeto de \mathcal{C}_R.

Un R-módulo es un functor aditivo F:\mathcal{C}_R\to \textbf{Ab}. En efecto, recordemos que un R-módulo M es un grupo abeliano M con un homomorfismo de anillos \rho:R\to \textup{End}(G).

Por lo tanto, tenemos \textbf{R-Mod}=\textbf{Add}(\mathcal{C}_R,\textbf{Ab})=\textbf{Mod}(\mathcal{C}_R) (isomorfismo de categorías).

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A continuación damos una definición categórica de una representación, y veremos cómo se corresponde con las representaciones algebraicas conocidas.

Sean \mathcal C, \mathcal D categorías. Una \mathcal D-representación de \mathcal C es un functor \mathcal C\to \mathcal D.

Ejemplo: Sea G un grupo y tomemos \mathcal C=\mathcal{C}_G. Notemos \star al único objeto de \mathcal{C}_G.

1) Si \mathcal D=\textbf{Set}, entonces un functor F: \mathcal{C}_G\to \textbf{Set} es una representación por permutaciones de G, i.e. un homomorfismo de grupos \rho:G\to \textup{Sym}(X). En otras palabras, una acción de G en X. Explícitamente, V=F(\star) y \rho es F a nivel de flechas.

Además, dado un par de functores F,G: \mathcal{C}_G\to \textbf{Set}, una transformación natural entre ellos es un G-mapa.

2) Si \mathcal D=\textbf{Vect}_k, entonces un functor F:\mathcal{C}_G\to \textbf{Vect}_k es una representación lineal de G, i.e. un homomorfismo de grupos \rho: G\to \mathrm{GL}(V), igual que antes. En otras palabras, una acción lineal de G en V.

Además, dado un par de functores F,G: \mathcal{C}_G\to \textbf{Vect}_k, una transformación natural entre ellos es un morfismo de representaciones.

Ejercicio: Traducir otras representaciones conocidas (por ejemplo: de álgebras de Lie 😉 ) en este lenguaje.

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2 respuestas a Categorías como estructuras; categorías de módulos; representaciones

  1. Maru S dijo:

    Ok, se termino mi laziness:
    Mañana voy a empezar a leer alguno de los libros porque quiero entender de que estas hablando.

    🙂

  2. Pingback: Representaciones y categorías (parte 2) | blocdemat

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