De functores adjuntos, objetos libres, y la inexistencia de “cuerpos libres”

“La categoría de cuerpos no es algebraica”.

Bien, no sé exactamente qué significa eso, pero quiero hacer algunos comentarios.

El primero es la diferencia entre los axiomas de cuerpo y los axiomas de otras estructuras algebraicas (monoides, grupos, grupos abelianos, anillos, módulos, álgebras…). Hay una diferencia esencial. El axioma distintivo es:

\forall x (x\not=0 \Leftrightarrow \exists y\, xy=1)

El problema es ese \not=0. Es decir, estamos definiendo una operación, la de tomar inversas, que no es una función en el sentido usual, sino una función parcial (i.e. sólo definida en un subconjunto del dominio). Aquí entran cuestiones de lógica y álgebra universal que ni entiendo ni conozco, así que ya me callo. Sólo aprovecho para mencionar el libro de Bergman, “An Invitation to General Algebra and Universal Constructions”, disponible en la página del autor, que ya me haré un tiempo para estudiar…

Bien, esta diferencia no parece suficiente como para afirmar tan alegremente que la categoría de cuerpos no es algebraica. Ya dije que no puedo justificar esto, pero quiero dar un argumento que sí entiendo y que me resulta muy convincente:

Casi todas las estructuras algebraicas usuales tienen “objetos libres”: hay monoides libres, grupos libres, grupos abelianos libres, álgebras libres (por lo tanto anillos libres: \mathbb{Z}-álgebras libres), módulos libres (por lo tanto espacios vectoriales libres), etc.

Cómo definir la noción de “objeto libre” en una categoría? Bueno, en general no podemos. Pero a veces sí:

Una categoría concreta es una categoría dotada de un functor hacia la categoría de conjuntos, llamado functor de olvido. Por lo tanto todas las categorías cuyos objetos son un conjunto + estructura adicional, y cuyas flechas son funciones que preservan esa estructura, son categorías concretas con el functor de olvido “asociar el conjunto y la función subyacente”.

Muy bien, entonces en este contexto tenemos un functor \mathcal{C} \to Set, que es olvidar la estructura. A este functor le podemos tomar el adjunto a izquierda, y a este functor F le llamaremos functor de libertad (nunca vi el término “freedom functor”, pero me parece natural si el anterior es el “forgetful functor” :P)

Por lo tanto si tenemos un conjunto X, el objeto libre de base X en nuestra categoría concreta \mathcal{C} será F(X).

Esto es realmente lo que hacemos siempre que tenemos objetos libres. Hay varias caracterizaciones de los functores adjuntos: hay dos que son bien sencillas y que explican fácilmente qué significa esto de “functor adjunto”, y paso a describirlas.

Al decir que F es el functor adjunto a izquierda al functor de olvido, estamos diciendo que dado un conjunto X, obtenemos un objeto F(X) junto con una función \iota: X\to F(X) (al estar en una categoría concreta, F(X) es un conjunto; formalmente debería decir “la imagen de F(X) por el functor de olvido”) que satisface la siguiente propiedad universal:

para toda otro objeto G de la categoría \mathcal{C} y toda función \varphi: X\to G (formalmente: de X a la imagen de G por el functor de olvido), existe un único morfismo \tilde{\varphi}: F(X)\to G que hace conmutar el siguiente diagrama:

Esto muestra que esta es la noción adecuada: esta es la propiedad universal que siempre tenemos para objetos libres. Para aquellos no familiarizados con, por ejemplo, grupos libres o módulos libres, observar que si X es un conjunto y F(X) es un espacio vectorial con base X, entonces la propiedad universal anterior dice sencillamente que una función definida sobre la base de un espacio vectorial hacia otro espacio vectorial se extiende de manera única a una transformación lineal sobre el espacio vectorial.

La segunda manera de caracterizar al objeto libre de base X se desprende de la observación de que la propiedad universal anterior se puede interpretar como: una función en la base induce un único morfismo en el objeto libre. Además es obvio que vale el recíproco: un morfismo desde el objeto libre induce una función desde la base. En definitiva, decir que F(X) es el objeto libre de base X es decir que:

para todo objeto G\in \mathcal{C} existe un isomorfismo (natural) \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(F(X),G)\cong \mathrm{Fun}(X,G).

Siendo un poco más formales, si denotamos por U: \mathcal{C}\to Set al functor de olvido, la ecuación anterior queda:

\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(F(X),G)\cong \mathrm{Hom}_{Set}(X,U(G)).

Y esto explica la nomenclatura de “functor adjunto”: si el Hom fuera un producto interno y F,G transformaciones lineales, estamos realmente diciendo que F es el adjunto a izquierda de U, o equivalentemente, que U es el adjunto a derecha de F.

Precioso. Ahora bien, mi argumento a favor de la afirmación “la categoría de cuerpos no es algebraica” es que en la categoría de cuerpos (que, obviamente, es concreta) no hay objetos libres. Es decir, no existen “cuerpos libres” (los chistes van a cargo del lector).

Teorema: No existe un functor adjunto a izquierda al functor de olvido Fld \to Set.

Demostración: Ponele que hay uno, llamémosle F. Tomemos X=\emptyset. Existe entonces un “cuerpo libre con base \emptyset“, i.e. F(\emptyset). Tomemos G=\mathbb{Z}_2. La única función \emptyset \to \mathbb{Z}_2 induce un único morfismo F(\emptyset) \to \mathbb{Z}_2. Este morfismo debe ser un isomorfismo: debe mandar el 0 al 0, el 1 al 1, y como F(\emptyset) es un cuerpo, debe ser 0\not=1, luego es un morfismo inyectivo hacia un cuerpo finito, entonces es un isomorfismo de cuerpos.

Muy bien, tomemos ahora G=\mathbb{Q}. La única función \emptyset\to \mathbb{Q} induce un único morfismo F(\emptyset)\to \mathbb{Q}. A través del isomorfismo con \mathbb{Z}_2 obtenemos entonces un morfismo f: \mathbb{Z}_2\to \mathbb{Q}. Esto es absurdo: por un lado f(1)=1, y por otro lado 0=f(0)=f(1+1)=f(1)+f(1) \Rightarrow f(1)=0… (más en general, nunca hay morfismos entre cuerpos de diferente característica) \square.

Esto muestra que no hay cuerpos libres. Para una discusión de mayor nivel de por qué la categoría (o la teoría) de cuerpos no es algebraica, ver este post de MO.

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2 respuestas a De functores adjuntos, objetos libres, y la inexistencia de “cuerpos libres”

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