Manipulaciones “absurdas”

Lo siguiente se lo planteé a mis estudiantes de álgebra 1. Me parece que es divertido e interesante:

Ejercicio: Sea R un anillo, a,b\in R. Probar que si 1-ab es invertible, entonces 1-ba lo es también.

Lo divertido no está en la resolución del ejercicio, sino en cómo llegar a encontrar la inversa.

La sugerencia es: hacer de cuenta que la expresión familiar para la suma de la serie geométrica 1+x+x^2+\dots = \frac{1}{1-x} tiene sentido en este contexto, para así hallar (1-ba)^{-1}=\frac{1}{1-ba}.

Lo que es sorprendente, y da para reflexionar, es que esta manipulación aparentemente absurda y sin sentido nos lleva a una solución que después podemos verificar a mano que es efectivamente correcta, pero que de otro modo hubiera resultado bastante difícil adivinar.

Personalmente me recuerda a la historia de cómo se hallaron las fórmulas para las raíces de polinomios de tercer grado en la primera mitad del siglo XVI: suponiendo que la expresión \sqrt{-1} tenía sentido, y operando con eso, para al final llegar a una solución que no tenía nada de estrafalario e imaginario (el caso en que era necesario este artilugio se llamó casus irreducibilis).

Que la manipulación con \sqrt{-1} se puede formalizar y generalizar es algo que vino a posteriori de sus resultados efectivos. La manipulación recién descrita también se puede hacer con corrección en un contexto más general (en un tiempito pondré un link al lugar donde lo vi, para dejarles tiempo para que mediten).

Estos dos casos son ejemplos donde generalizar y abstraer es de provecho directo para resolver algo en un contexto más restrictivo. En efecto, considerar \sqrt{-1} es agrandar \mathbb{R} a \mathbb{R}(\sqrt{-1})=\mathbb{C}, y la manipulación anterior también se puede ver con esta óptica (pasando al anillo de series de Laurent formales). Después bajamos de nuevo a nuestro contexto original, y tenemos una solución perfectamente válida, si bien tuvimos que “subir” en la teoría para encontrarla.

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Acá está el artículo de Halmos, “Does mathematics have elements?”, y este es el link a la respuesta en MO donde lo relacionan con las series de Laurent formales.

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2 respuestas a Manipulaciones “absurdas”

  1. Maru S dijo:

    Demas! Sera meditado 🙂
    Lo que pusiste en letra chiquita es porque no es muy relevante, o porque los existentes estudiantes lectores de este blog no lo van a comprender? 😛

  2. bstonek dijo:

    Bueno, porque copié-pegué del foro del EVA, y ahí lo puse en letra chiquita porque no lo pueden entender *todavía*. Ya voy a poner un ejercicio en algún práctico próximo sobre series de Laurent formales 🙂

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