Fibrados tangentes triviales y el teorema de Hurwitz

Dada una variedad diferenciable M, su fibrado tangente es básicamente la unión disjunta de sus espacios tangentes:

TM:=\bigcup\limits_{p\in M}\{p\}\times T_pM= \{(p,v): p\in M, v\in T_pM\}

Es decir, un elemento del fibrado tangente es un punto de la variedad junto con un vector velocidad ahí.

Si n es la dimensión de la variedad, no es difícil ver que es una variedad diferenciable (abstracta) de dimensión 2n, cuya estructura diferenciable viene dada por los siguientes mapas. Si \varphi:U \to M es una parametrización de M, entonces \psi: U \times \mathbb{R}^n \to TM, \psi(q,u)=(\varphi(q),d\varphi_q(u)). Por lo tanto un atlas para M me induce un atlas para TM.

TS^1, el fibrado tangente de la circunferencia unidad, es fácil de imaginar: en cada punto de la circunferencia apoyamos su recta tangente. Ahora bien, si yo roto cada recta 90º, puedo hacer que los tangentes no se crucen. Y aplicar estas rotaciones es un difeomorfismo. En definitiva, queda que TS^1\simeq S^1\times \mathbb{R}. Acá la figura de la wikipedia es bien explicativa:

Decimos que el fibrado tangente de una n-variedad M es trivial si cumple que TM \simeq M\times \mathbb{R}^n. Yo me lo imagino como que puedo “desenmarañar” los espacios tangentes, como hicimos arriba, de manera diferenciable.

Mi primera intuición fue que todos los fibrados tenían que ser triviales. “Y sí, qué es el fibrado? Puntos de la variedad con planos pegados, es decir, M \times \mathbb{R}^n.” Sí, están pegados, pero TM tiene una estructura diferenciable que se tiene que respetar, es decir, tenemos que poder despegar los planos de manera “prolija” (diferenciable) como hicimos arriba con S^1.

Y resulta, por ejemplo, que con S^2 no se puede. Los planos están tan enmarañados que no los puedo despegar e identificar diferenciablemente.

Esto es una consecuencia del teorema de la bola peluda, que me dice que cualquier campo continuo de vectores tangentes en S^2 tiene que tener un punto donde se anule. Un campo de vectores tangentes en S^2 es un mapa X: S^2 \to TS^2 tal que X(p)\in T_pS^2. (lógico). Es decir, si pongo vectores tangentes de manera continua arriba de la esfera, alguno tiene que ser nulo, i.e. algún lugar de la Tierra no tiene viento.

Acá se ve bárbaro por qué pasa eso.

En efecto, primero observemos que S^2\times \mathbb{R}^2 sí que admite un campo de vectores continuo que nunca se anula. Mi manera de imaginarme esto es así, pienso en la esfera por un lado y el plano por otro, y luego pienso en un par (punto, vector).

Este campo es súper fácil de conseguir, en cada punto de la esfera pongo un vector fijo y ya está. Es decir, X:S^2\to S^2\times \mathbb{R}^2, X(p)=(p,v) donde v\not=0 es un campo continuo de vectores que nunca se anula, fin.

Pero el teorema de la bola peluda me dice que no puedo hacer eso en TS^2, por lo tanto si yo tuviera un difeomorfismo S^2 \times \mathbb{R} \to TS^2, puedo mandar el campo que nunca se anula recién construido hacia TS^2 y es un campo que nunca se anula. Ya está.

En conclusión, los planos tangentes a S^2 están pegados a ella de una manera bastante entreverada, que hace que no sea posible despegarlos e identificarlos todos de manera diferenciable, como hicimos con S^1.

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Definición: Una variedad es paralelizable si su fibrado tangente es trivial.

Teorema: S^n es paralelizable si y sólo si n=1,3,7.

Ni idea de cómo se demuestra, pero lo que sé, que me lo comentó M. Suárez-Álvarez en Córdoba, es que esto tiene una relación con cierto teorema buenísimo.

¿Qué pintan esos 1,3,7? Son las dimensiones de esferas. Esas esferas viven naturalmente en, respectivamente, espacios euclídeos de dimensión 2,4,8. A la persona álgebra-friendly le sonarán esos números por el

Teorema de Hurwitz: Las únicas \mathbb{R}-álgebras unitarias con división normadas y con unidad son \mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}, i.e. los reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones.

Comparar con el teorema de Frobenius.

Pero resultan ser exactamente estructuras que, aparte de los reales, tienen “dimensión” 2,4,8 respectivamente.

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6 respuestas a Fibrados tangentes triviales y el teorema de Hurwitz

  1. Pingback: Formas diferenciales revisitadas | blocdemat

  2. Sole dijo:

    Genial!! Conocés la relación (o la idea mas o menos) entre las R-álgebras álgebras unitarias con división normadas con unidad y las esferas paralelizables? Suena muy divertido! (mucho más que la extensión de escalares)

    • bstonek dijo:

      Creo que tiene que ver con que esas esferas son las únicos (cuasi)grupos de Lie, también. Esto nos lo comentó Miguel en algún momento… pero no sé más que esto, tendrías (tendríamos) que preguntarle a él 😉

      PD: Observaste tu cómica doble reiteración? álgebras álgebra unitarias con unidad 😀

  3. Pingback: Dos palabras sobre el invariante de Hopf | blocdemat

  4. Yatzil dijo:

    Me parece que los espacios proyectivos de dichas esferas también son paralelizables
    El toro S^1 x S^1 es paralelizable y la botella de Klein también, se puede ver la botella como
    S^1 x S^1 /~ un toro con una topología cociente
    Habría que preguntarse si siempre se aplique un pegado como los anteiores a una variedad paralelizable, lo que se obtiene una variedad paralelizable

    • Yatzil dijo:

      Corrijo
      Me parece que los espacios proyectivos (S^2,3,7 /~) de dichas esferas también son paralelizables
      El toro S^1 x S^1 es paralelizable y la botella de Klein también, se puede ver la botella como un toro bajo cierta identificación.
      Habría que preguntarse si siempre se aplique un pegado como los anteiores a una variedad paralelizable, lo que se obtiene una variedad paralelizable

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