El teorema de la función implícita y su relación con: “toda superficie es localmente un gráfico”

El teorema de la función implícita es algo que tengo en el debe desde que estaba en primero. En el curso que tuvimos de cálculo 2, no se le dio importancia. No lo demostramos, apenas lo enunciamos la última semana, y recuerdo el enunciado como una cosa aparatosa con mil subíndices e imposible de recordar.

En las notas estaba la prueba a partir del teorema de la función inversa, y me consta que hay demostraciones en el otro sentido: el teorema de la función inversa a partir de implícita.

Contrastemos con el bello teorema de la función inversa que dice que cualquier función de clase C^1, f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n es localmente un difeomorfismo en los puntos donde el jacobiano no se anula (o equivalentemente, donde el diferencial es invertible).

Hete aquí que durante el almuerzo del viernes pasado la conversación giraba entorno al teorema de la función implícita, donde comenté que nunca lo había entendido, pues sabía que había una idea geométrica pero nunca la había aprendido. Gracias a Paula que me hizo llegar un artículo donde se explica bien, de manera geométrica, este teorema.

En mi humilde opinión es de esos teoremas cuyo enunciado es una cosa técnica y aparenta ser algo horrendo, de los que si te quedás con lo que dice, yo, por lo menos, jamás podré acordármelo. Así que ahora que creo que lo entendí, creo que me lo podré acordar.

Ahora lo veo como un análogo al enunciado de cálculo 3: “toda superficie es localmente un gráfico” (o toda variedad de codimensión 1). Significa que en cada punto de tu superficie podés encontrar una función diferenciable tal que el gráfico de esa función sea un entorno del punto. Al final exploraremos un poco mejor esta analogía.

Bien. ¿Qué dice entonces el teorema de la función implícita? Aconsejo leer el artículo enlazado arriba para una buena explicación. Mi explicación geométrica más somera (y en \mathbb{R}^2) es la siguiente:

Sea E:\mathbb{R}\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, definida por E(x,y)=x^2+y^2-1. Consideremos el conjunto de puntos donde E(x,y)=0, i.e. E^{-1}(0). Es S^1. Análogamente, hay unas cuantas curvas o superficies que se pueden ver como preimagen de un valor fijo.

Observar que la expresión x^2+y^2-1=0 no nos permite despejar y(x) para todos los x,y, es decir, no nos permite despejar y como función explícita.

Ahora, en casi todos los puntos de esa curva, localmente (es decir, en un entorno abierto relativo) es de la forma (x,f(x)). Es claro en qué puntos y qué función tomar. Para los puntos del semiplano superior, la función es f(x)=\sqrt{1-x^2}, y para los puntos del semiplano inferior es f(x)=-\sqrt{1-x^2}.

Los puntos molestos son (-1,0) y (1,0). Allí no puedo expresar ningún entorno abierto como (x,f(x)), pues cualquier entorno abierto contiene puntos del semiplano superior y del semiplano inferior.

Bueno, si te fijás en esos puntos el gradiente apunta en la dirección de x=0. Son exactamente los puntos donde \frac{\partial E}{\partial y} se anula. Y justo son los puntos donde no podemos expresar localmente la curva como una función de x.

Bueno, el teorema de la función implícita en \mathbb{R}^2 nos dice que si en un punto esa derivada parcial no se anula, entonces sí podemos encontrar un entorno del punto donde la curva es un gráfico. La expresión analítica sería:

Teorema: Sea E:\mathbb{R}\times \mathbb{R} \to \mathbb{R} una función de clase C^1. Si (a,b) \in E^{-1}(0) es tal que \frac{\partial E}{\partial y}(a,b)\not=0, entonces existe U\subset \mathbb{R} entorno abierto de a, V\subset \mathbb{R} entorno abierto de b y una (única) función diferenciable f: U\times V \to \mathbb{R} tal que \text{graf}(f)=E^{-1}(0)\cap (U\times V).

Y bueno, ahora es bastante claro cómo generalizar. Esa derivada parcial lo que es es un jacobiano.

Teorema: Sea E:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m una función de clase C^1. Escribimos E(x,y) y E=(E_1,\dots,E_m). Si (a,b) \in E^{-1}(0) es tal que \text{det }\left(\frac{\partial E_i}{\partial y_j}(a,b)\right)_{ij}\not=0, entonces existe U\subset \mathbb{R}^n entorno abierto de a, V\subset \mathbb{R}^m entorno abierto de b y una (única) función diferenciable f: U\times V \to \mathbb{R}^m tal que \text{graf}(f)=E^{-1}(0)\cap (U\times V).

El “entonces” se interpreta como “localmente es un gráfico de las primeras variables”.

Lo que quiero observar ahora es que si bien en S^1 no podemos expresar ningún entorno de (1,0) como el gráfico de una función de x, obviamente lo podemos hacer como el gráfico de una función de y. Esto no es nada más que rotar la cabeza 90º.

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Este teorema tiene que tener una relación con los siguientes dos teoremas:

1) El teorema de la preimagen de valor regular. Éste te dice que la preimagen por una función diferenciable f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m de un valor regular a\in\mathbb{R}^m, con n\geq m, es una variedad de dimensión n-m.

(Recordemos que un valor regular de una función es un punto en el codominio de una función tal que su conjunto preimagen consiste de puntos regulares. Un punto regular es un punto en el dominio tal que el diferencial de la función allí es sobreyectivo. Recordemos que si m=1, los puntos regulares son los puntos donde el gradiente no se anula.)

2) Toda superficie es localmente el gráfico de una función diferenciable \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}. (Se generaliza obviamente a variedades de codimensión 1).

A ver si sacamos cómo es bien la relación.

Pensando en \mathbb{R}^2, tomemos S^1, donde hay puntos que no son localmente el gráfico de una función de la primera variable, sino de la segunda. Ocurre que si la segunda derivada parcial no se anula, entonces es localmente el gráfico de una función de la primera variable, y si la primera no se anula, entonces es localmente el gráfico de una función de la segunda variable.

Consideremos funciones E:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}. El teorema de la preimagen de valor regular te dice que si 0 \in \mathbb{R} es un valor regular, entonces E^{-1}(0) es una variedad de codimensión 1, y por lo tanto, es localmente el gráfico de una función \mathbb{R}^{n-1}\to \mathbb{R}. Ser un valor regular es, en este contexto, que en E^{-1}(0) ningún punto tenga gradiente cero. O sea, que no haya ningún punto de E^{-1}(0) que tenga todas las derivadas parciales nulas.

Observar que podemos refinar un poco la situación a lo siguiente: por continuidad de las derivadas parciales, si un punto es regular entonces hay un entorno donde todos los puntos son regulares. Por lo tanto, restrigiendo E, conseguimos:

Teorema: si E:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} es de clase C^1 y a\in E^{-1}(0) es un punto donde no se anulan todas las derivadas parciales a la vez, entonces existe un entorno de a donde E^{-1}(0) es localmente un gráfico de una función \mathbb{R}^{n-1}\to \mathbb{R}.

Desde el punto de vista del teorema de la función implícita, tenemos que considerar \mathbb{R}^n como producto cartesiano de dos espacios euclídeos. Para poder relacionarlo con el párrafo anterior, hemos de considerar \mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}. Aquí, el teorema de la función implícita afirma que si las n-ésima derivada parcial de E no se anula en un punto (a,b), entonces E^{-1}(0) es en un entorno de (a,b) un gráfico de las primeras n-1 variables.

Entonces en este sentido, con el teorema de cálculo 3 para obtener localmente gráficos tenemos más generalidad, pues pedir que en un punto no se anulen todas las derivadas parciales a la vez es más laxo que lo que pide el teorema de la función implícita, que es que no se anule la última derivada parcial.

Esto refleja lo que decíamos hoy de S^1, que es localmente un gráfico siempre, si bien el teorema de la función implícita sólo se aplica a los puntos donde es un gráfico de la primera variable.

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Pero esto no nos permite decir que con el teorema de cálculo 3 para obtener localmente gráficos tengamos más generalidad, pues el teorema de la función implícita te puede dar gráficos de funciones con valores vectoriales, mientras que lo de calc3 te da gráficos de funciones con valores reales. En otras palabras, cuando recién usamos el teorema de la función implícita, hicimos la elección de ver \mathbb{R}^n como \mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}, ¡pero lo podíamos ver como un montón de otras cosas donde el segundo factor no tiene por qué ser \mathbb{R}!

En conclusión: si queremos ver entorno de un punto dado una variedad de codimensión 1 como un gráfico, es más general chequear que el punto es regular, i.e. aplicar métodos de cálculo 3, que chequear que las hipótesis del teorema de la función implícita. Pero hay otros contextos donde el teorema de la función implícita nos permite ver conjuntos de nivel como gráficos localmente, y el método de cálculo 3 no se aplica.

De todos modos, nadie me negará que hay una generalización del teorema de la función implícita que parece bastante obvia. ¿Por qué expresar las últimas variables en función de las primeras, y no simplemente algunas en función de otras? Creo que sencillamente porque ese caso es bastante tedioso de enunciar, y además se puede reducir fácilmente al caso usual mediante un cambio de base.

Es decir, si tenemos una función (como la de S^1) que presenta problemas para ser localmente un gráfico en términos de las últimas variables pero si lo es de las primeras, entonces se me ocurre que podemos componerlo con una permutación de las variables para aplicar el teorema de la función implícita, y ya está.

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Una respuesta a El teorema de la función implícita y su relación con: “toda superficie es localmente un gráfico”

  1. bstonek dijo:

    Mis comentarios con respecto a la relación con la visión de cálculo 3 me generan un poco de desconfianza. No estoy seguro de que estén bien. Así que sean suspicaces.

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