Si un dominio es tal que todo ideal numerablemente generado es principal, entonces es un DIP

Awesome. Últimamente me siento bastante atraído a enunciados algebraicos relacionados con la teoría de conjuntos.

Recordemos que un anillo es un dominio si es conmutativo y no tiene divisores de cero. Un dominio es un dominio de ideales principales (DIP) si además todo ideal es principal, i.e. está generado por un elemento.

La pregunta es: ¿basta con que en un dominio todos los ideales numerablemente generados (i.e. con un generador numerable) sean principales, para que todos los ideales sean principales y por lo tanto sea un DIP?

La respuesta es: ¡sí! A mí me resulta muy sorprendente… Sospecho que hay alguna reflexión profunda detrás, sobre cómo se construyen los ideales generados: en el fondo, es una construcción finitaria, en el sentido que sus elementos son combinaciones finitas.

La demostración la saqué de este post de MO, después de escribirla por mi cuenta y llenando algunos detalles creo que la voy digiriendo y la entiendo. Pude, además, evitar toda mención a los ordinales que era superflua en realidad. Así que cualquiera que haga/esté haciendo álgebra 1 la puede/podrá entender. Allá vamos:

Demostración: Sea R un dominio tal que todo ideal numerablemente generado es principal. Veamos que es un DIP.

Sea pues I\subset R un ideal. I está generado por algún conjunto de elementos \Gamma\subset I, i.e. I= \langle \Gamma\rangle. Por el axioma de elección, \Gamma admite un buen orden \leq.

Sea S=\{g\in \Gamma:\langle\{f\in \Gamma: f<g\}\rangle\not=\langle\{f\in \Gamma: f\leq g\}\rangle\}. Es decir, el conjunto de los g\in \Gamma que “aportan algo” al ideal. Habiendo eliminado redundancias se tiene entonces I= \langle S \rangle.

Primer caso: S es finito. En este caso, I está finitamente generado, por lo tanto numerablemente generado, luego es principal.

Segundo caso: S es infinito. En ese caso tiene un subconjunto infinito numerable (axioma de elección), sea entonces T=\{f_1<f_2<\dots \}\subset S un tal conjunto.

Entonces \langle T \rangle está numerablemente generado, luego es principal: está generado por un elemento x\in \langle T \rangle.

Por lo tanto x es combinación finita de elementos de T, y por lo tanto pertenece a \langle\{f_k\in T: k<i\}\rangle para algún i\in \mathbb{N}. Deducimos, como x es generador de \langle T \rangle, que \langle T \rangle=\langle\{f_k\in T: k<i\}\rangle.

Por construcción de S y porque T es infinito, tenemos que \langle \{f_k\in T: k\leq i\}\rangle\not=\langle\{f_k\in T: k< i\}\rangle=\langle T \rangle, luego f_i \not\in \langle T \rangle, absurdo.

Por lo tanto S no puede ser infinito, y por lo tanto por el primer caso I es principal. I era un ideal arbitrario: hemos demostrado que todo ideal es principal, luego R es un DIP.

(Editado el 20/08 para evitar el innecesario reductio ad absurdum.)

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Una respuesta a Si un dominio es tal que todo ideal numerablemente generado es principal, entonces es un DIP

  1. bstonek dijo:

    Es medio tarde y la neurona me empieza a hacer cortocircuito. Por un momento pensé que podíamos evitar el buen orden completamente, pero creo que no si queremos mantener la idea de la prueba. El proceso de “eliminar redundancias” es necesario para el paso final, y sin tener los elementos de \Gamma ordenados, no se me ocurre cómo hacerlo (sin apelar al axioma de elección de algún otro modo).

    En todo caso, vale comentar que para hallar un subconjunto infinito numerable en un subconjunto infinito, se precisa el axioma de elección numerable, que es más débil que el axioma de elección total, pero igual es independiente de ZF.

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