El axioma de elección es equivalente a: todo conjunto no vacío admite estructura de grupo abeliano

Como dice el título. Probaremos también una equivalencia aparentemente más débil, y es que el axioma de elección es equivalente a “todo conjunto no vacío admite una estructura de magma cancelativo por izquierda”

Recordemos que un magma es nada más que un conjunto M con una operación binaria \cdot: M\times M \to M. Esta operación es cancelativa por izquierda si satisface a\cdot b = a\cdot c \Rightarrow b=c para todo a,b,c\in M.

Teorema (ZF): Son equivalentes:
a) Todo conjunto puede ser bien ordenado,
b) Todo conjunto no vacío admite estructura de grupo abeliano,
c) Todo conjunto no vacío admite estructura de magma cancelativo por izquierda.

Demostración: (a \Rightarrow b) Si X tiene cardinal finito n\geq 1, entonces mediante una biyección con \mathbb{Z}_n lo podemos dotar de estructura de grupo abeliano.

Sea X infinito. Bajo el axioma de elección sabemos que \lvert \mathcal{P}_f(X) \rvert = \lvert X \rvert, i.e. el conjunto de partes finitas de X es equipotente al conjunto original.

Fijemos una biyección f:X\to\mathcal{P}_f ( X) . En el codominio se puede poner una estructura de grupo abeliano dada por la diferencia simétrica (ejercicio del práctico 2 de álgebra 1). Y ya está, ahora tiramos para atrás la operación: x\cdot y= z \iff f(x)\nabla f(y)=f(z) y nos da una estructura de grupo abeliano en X.

(b \Rightarrow c) Obvio.

(c \Rightarrow a) Acá viene lo delicado. Sea X un conjunto. Un teorema de Hartogs afirma que en ZF existe un ordinal \aleph(X) tal que \aleph(X) no se inyecta en X (con el axioma de elección esto es trivial: todo conjunto es bien ordenable, por lo tanto dado X tomemos \mathcal{P}(X), lo bien ordenamos, le asociamos su ordinal y ya está).

Podemos asumir sin perder generalidad que X no contiene ningún ordinal (si contiene alguno, remplazalo por algo isomorfo a un ordinal). Entonces la unión X \cup \aleph(X) resulta disjunta (todos los elementos de \aleph(X) son ordinales).

Sea \cdot una operación binaria cancelativa por izquierda en X \cup \aleph(X).  Para cada x\in X debe existir un \alpha \in \aleph(X) tal que x\cdot \alpha \in \aleph(X). En efecto, si existiera un x tal que x\cdot \alpha\in X para todo \alpha\in \aleph(X), la función \aleph(X) \to X: \alpha \mapsto x \cdot \alpha sería una inyección \aleph(X)\to X, por la cancelatividad.

Como \aleph(X) está bien ordenado por la pertenencia, podemos considerar (\aleph(X))^2 con el orden lexicográfico que es un buen orden. Podemos definir pues una función inyectiva X \to (\aleph(X))^2, x\mapsto \min\{(\alpha,\beta)\in (\aleph(X))^2: x\cdot \alpha=\beta\}. Por el mismo truco de arriba, esto induce un buen orden en X.

¡Qué lindo! Cuando vi la demostración de la última implicación pensé que no la entendería, pero ese teorema de Hartogs no dice nada demasiado loco (y la prueba en la wikipedia está bien clara), y después de ahí son trucos bien comprensibles.

Aparentemente esta prueba primero apareció en: Hajnal, A., Kertész, A. – Some new algebraic equivalents of the axiom of choice, Publ. Math. Debrecen 19 (1972), 339–340 (1973). Yo lo vi en este post de MO.

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