Yo no soy un formalista

Esto es una especie de salida del clóset. En base a cosas que estudié para UCS sobre la escuela formalista de Hilbert, y el libro de lógica que estoy leyendo, estoy descubriendo mi postura frente a ciertas cosas de la filosofía matemática, cual adolescente descubriendo su sexualidad.

La matemática es un juego carente de significado en el que uno juega con símbolos carentes de significado de acuerdo a unas reglas formales establecidas de antemano. David Hilbert

No estoy de acuerdo. Entiendo que el acercamiento puramente sintáctico a la matemática, a través de la teoría de la demostración, de las reglas de inferencia, de consecuencias sintácticas, hace exactamente eso.

Entiendo que uno puede definir una teoría asociada a (una lógica subyacente y) un conjunto de elementos primitivos y axiomas, como al conjunto de proposiciones demostrables a partir de los axiomas (lo cual sorprendentemente no es difícil de definir si bien a primera vista lo parece).

Y todo esto es muy sintáctico, y está todo muy bien. Pero hay otra cosa, que es la semántica, que es la teoría de modelos, que me está cautivando mucho más que la teoría de la demostración.

Una noción que me imagino a Mauricio le debe disgustar o sencillamente la debe encontrar carente de contenido es la de interpretación estándar de una teoría.

Ferpecto, vos ponés los axiomas puramente sintácticos para tu teoría, con algunos chirimbolos que les llamás símbolos primitivos, y todo eso son jueguitos formales. Esto dice la escuela formalista de Hilbert. Mi humilde opinión es:

Balls. Uno tiene en mente qué es lo que quiere que signifiquen esos símbolos. Ok, esto no se refleja formalmente en ningún lado, pero por algo uno elige el símbolo \in como símbolo primitivo cuando formula la teoría de conjuntos, por algo uno elige \circ como símbolo primitivo de la teoría de grupos, porque uno está pensando en la pertenencia y la composición de toda la vida.

Cierto, hay modelos no estándar, pero ¡está todo bien con ellos! Enriquecen la matemática, y dan enfoques peculiares e interesantes de por sí. Por ejemplo, el análisis no estándar, del que creo que ya puse un post en otra ocasión. Por ejemplo, la aritmética no estándar (Antonio mencionó algo de esto en el curso de matemática reversa del verano pasado).

Pero francamente me siento mucho más cómodo observando modelos de la teoría y cómo se comportan, incluso si son no estándar, que manipulando símbolos y tratando con reglas de derivación. Se me antoja tan frío y lejano…

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6 respuestas a Yo no soy un formalista

  1. vale dijo:

    Que lindo!! me encantan esas cuestiones 🙂 me simpatizan y sorprenden el titulo y tus diferencias con Hilbert, creo que te hacia más formalista. Ahora mi pregunta es: si te interpreto bien la matemática para vos sería una construcción que estaría modelando ideas que ya tenemos… y que pasa con esas ideas? las construimos? De ser así no sería lo mismo? Que diferencia habría entre simbolizar ideas que también inventamos o directamente inventar los símbolos sin nada previo? O para vos esas ideas no son una construcción y la matemática sería como una ciencia empírica eue modela “realidades independientes a nosotros”?

  2. vale dijo:

    ahh, y como gran porcetaje de tus lectores que soy pido más articulos de filosfía de la matemática 😀

  3. bstonek dijo:

    “para vos sería una construcción que estaría modelando ideas que ya tenemos”: ¡Exacto! Un sistema axiomático *no* se inventa por capricho. Esto es históricamente cierto. Siglos de matemática vinieron antes de los sistemas formales. Los sistemas formales se establecen como mecanismo para poder llevar a cabo con rigor cosas que sin ellos son prácticamente imposibles, como por ejemplo, las pruebas de consistencia relativa.

    Los sistemas formales históricamente aparecen para fundamentar procesos que ya se llevaban a cabo antes “informalmente”. Cantor llega a su teoría de conjuntos saliendo de problemas de análisis. Claro está que después la teoría de conjuntos en sí encontró su propio rumbo estableciéndose como rama de la matemática y no sólo como una herramienta para los fundamentos.

    Pretender que estudiar, por ejemplo, las consecuencias de poner el axioma de elección, o de poner alguna forma de su negación (por ejemplo el axioma de determinación) no son capricho. Se fundamentan por el interés que tienen en el resto de la matemática. Primero viene la matemática, y nosotros le buscamos los fundamentos adecuados. Tenemos eso en mente cuando “jugamos” con ello, muchas veces (si bien claro está uno se puede interesar en las consecuencias de agregar tal axioma o quitar tal otro por pura curiosidad, y eso está genial).

    Hay un artículo que viché hace poco que se llama: “does mathematics need new axioms?” Creo que tan solo el título es bastante explicativo de lo que estoy diciendo. Primero la matemática, después sus axiomas.

    Por ejemplo, para la teoría de categorías, una de las fundamentaciones más aceptadas es la que utiliza universos de Grothendieck. Pero se sabe que la existencia de universos de Grothendieck es equivalente a la existencia de un cardinal fuertemente inaccesible (creo que es así, si no, es equivalente a otra existencia de un cardinal grande), que se sabe independiente de ZFC. Por lo tanto, si queremos hacer teoría de categorías con tranquilidad, podemos agregar el axioma de los universos. Es con eso en vista que 1) *pensamos* en el axioma de los universos, como solución a un problema matemático, y 2) mucho después en el proceso matemático lo escribimos con chirimbolos.

    O sea, los chirimbolos y las verificaciones formales que conllevan (si es una fórmula bien definida, etc.) son algo que viene mucho después de la idea inicial, de la motivación de los axiomas.

    Otro ejemplo: el axioma de elección implica la existencia de un subconjunto de los reales que no es medible Borel. En particular, esto implica la paradoja de Banach-Tarski. Uno puede encontrar esto *inaceptable* de un punto de vista absolutamente metamatemático y filosófico, y decir: “me interesa investigar la matemática donde *no* existan tales conjuntos”. Lo que afirmo es que tal impulso viene (muchas veces) por cuestiones extra-sintácticas, es decir, no es simplemente por “bueno, si puse el axioma de elección, bien puedo poner su negación, a ver qué onda”. Y se dedica entonces a investigar cuánta matemática “estándar” vale, por ejemplo, bajo ZF+AD (axioma de determinación), ver qué otra matemática se puede desarrollar ahí, ver si no encuentra que esto tampoco le satisface, saltar de un sistema a otro según su conveniencia matemática-su estado de ánimo, etcétera.

    “O para vos esas ideas no son una construcción y la matemática sería como una ciencia empírica que modela “realidades independientes a nosotros”?” Yo afirmo que primero viene la matemática “informal” (en este sentido de formalismo lógico), y después su eventual formalización. No digo que sea una ciencia empírica, digo que es una ciencia mucho más maleable que las ciencias naturales: en las ciencias naturales, vos jugás con reglas pre-establecidas, en la matemática vos ponés tus propias reglas. Ahora, *qué* reglas ponés, eso lo hacés en función de motivaciones también matemáticas, no por puro capricho. No somos robots. No pretendamos serlo.

    Espero haber expresado mi punto.

  4. vale dijo:

    explicadisimo 😀

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  6. Pingback: Ideales minimales y cadenas descendentes | blocdemat

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