Modelos de ZFC versus modelos de la teoría de grupos

Algo que me caracteriza es que me molesta un pelín decir cosas que son inciertas o que no están del todo bien enunciadas, porque no me gusta crear falsas imágenes de las cosas, o imágenes distorsionadas.

En particular, hoy me quise referir (también en el práctico de álgebra… mea culpa, voy a rezar dos teoremas de isomorfismo y tres de estructura esta noche) a la diferencia fundamental entre los modelos de la teoría de grupos y los modelos de ZFC.

Dije cosas que estaban mal. La primera que quiero rectificar (y que no me molesta tanto haberla hecho porque por suerte nadie me entendió…) es que:

Una categoría con un sólo objeto y todas sus flechas invertibles “es un grupo”, sí, pero ¿en qué sentido? En el sentido que el conjunto de flechas es un grupo. No es “la categoría en sí”, sino el conjunto de flechas. Es un conjunto hecho y derecho, que será el grupo, con elementos, que serán sus elementos, con un producto, que será la composición de flechas, con un neutro, que será la identidad del único objeto.

Lo interesante de esa afirmación es sencillamente que hay un isomorfismo de categorías entre la categoría de grupos (con sus morfismos de grupos) y la categoría de las categorías con un sólo objeto cuyas flechas son todas invertibles (con los functores).

Así que esa cuestión es de interés en la teoría de categorías, pero no tiene sentido en la teoría de modelos.

Porque por definición un modelo es un conjunto con su correspondiente traducción de símbolos de función en funciones, símbolos de relación en relaciones… que en el caso de arriba es tomar como conjunto el conjunto de flechas de una categoría con un solo objeto y todas las flechas invertibles. Nada nuevo bajo el sol de los modelos.

En conclusión, un grupo es exactamente lo mismo que un modelo para la teoría de grupos.

Lo que quería hacer era contrastar con ZFC, donde esto no es cierto.

No es cierto que un conjunto cualquiera sea un modelo para ZFC. Obvio que no, por ejemplo, el axioma de partes que dice que “para todo x existe \mathcal{P}(x)“. Si un conjunto cualquiera A fuera un modelo para ZFC, entonces para cualquier elemento x\in A se tendría que \mathcal{P}(x)\in A, que no pasa ni a palos.

Entonces, ¿qué hacemos con ZFC? Claro, si notamos \mathcal{U} a la clase de todos los conjuntos, entonces lo que cualquier ser sensato haría es tomar \mathcal{U} como modelo para ZFC. Pero no es un conjunto, y por definición un modelo tiene que ser un conjunto…

O sea, los modelos para ZFC son cosas bastante más complejas que los modelos de la teoría de grupos. Decididamente un conjunto no es un modelo para ZFC (por eso es fundamentalmente diferente de lo que pasa con la teoría de grupos), pero tampoco \mathcal{U}, que es lo que uno esperaría viendo los axiomas de la teoría de conjuntos…

Y decididamente no tengo ni la más remota idea de lo que es un modelo para la teoría de conjuntos, pues. En todo caso, esta noche se me aclaró el panorama sobre algo en lo que estaba sin duda muy confundido. Quizás cuando entienda un poco más de ellos haga un post, y pueda explicar la paradoja de Skolem, que si entiendo bien, grosso modo lo que dice es: existe un modelo numerable para la teoría de conjuntos, y esto nos sorprende mucho, porque contiene solo conjuntos numerables, ¡pero satisface la frase que intuitivamente afirma “existen conjuntos no numerables”!

(básicamente, me parece que lo que pasa es que en ese modelo numerable, la pertenencia no se puede pensar en el sentido habitual, por lo tanto la frase que, en el modelo estándar, se interpreta como “existen conjuntos no numerables”, en este nuevo modelo (que no puede ser estándar), no está afirmando eso sino otra cosa.)

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