Los ordinales, los cardinales, etcétera

“Un ordinal es un bicho manso, se deja jinetear; pero cuando intentás dibujarlo te patea.” — M. Guillermo

Disclaimer: me parece que este post quedó bastante desordenado (lo fui escribiendo como me salía de la cabeza, que está muy cansada por el día de hoy. Paciencia, creo que lo más interesante está al final, cualquier cosa me putean en los comments.

Los ordinales son un objeto realmente bonito y una construcción fantástica. Por alguna extraña razón uno nunca llega a verlos en la licenciatura (como tampoco llega a ver los axiomas de la teoría de conjuntos, por ejemplo…). A mi modo de ver esto es una falencia: me parece que son una construcción muy natural, fácil de motivar y de describir en términos elementales.

Hoy en el práctico de álgebra 1, por esas cuestiones de la vida terminé hablando de ellos. Y me di cuenta que no tenía una manera rápida y convincente de definirlos razonablemente bien. Después de que me callara me quedé pensando… supongo que podemos decir: “los ordinales son los buenos órdenes canónicos”. Procedo a explicarme.

Recordemos que un buen orden es un conjunto totalmente ordenado tal que todo subconjunto no vacío tiene mínimo. Un segmento inicial de un buen orden es “truncar” el conjunto en cierto elemento, es decir, considerar todos los elementos menores que uno dado. Un ejemplo trivial es considerar \{0,\dots,n\}\subset \mathbb{N} para cualquier n\in \mathbb{N}. Un isomorfismo de órdenes totales (y de buenos órdenes) es una biyección monótona (esto sigue la lógica de siempre, pues un morfismo de órdenes es obviamente una función monótona, y el inverso de una biyección monótona es monótono)

Se puede demostrar que si tenés dos buenos órdenes, entonces o son isomorfos, o uno es un segmento inicial del otro. Esto me parece muy intuitivo y fácil de creer.

Cuando digo que los ordinales son los buenos órdenes canónicos, es lo siguiente: cualquier conjunto bien ordenado es isomorfo a un único ordinal.

De esta manera, la clase de los ordinales, notada \mathbb{ON} (no es un conjunto! paradoja de Burali-Forti) es “la madre de todos los conjuntos bien ordenados”, cada uno se identifica con elemento de \mathbb{ON} (o si queremos, con un segmento inicial de \mathbb{ON} . En efecto, la clase de los ordinales es una clase bien ordenada! (Entran todos en fila india, se sientan por orden alfabético… … …) O sea, es una clase que cumple todas la propiedades de un buen orden.

(Inciso: es lo mismo que cuando uno dice que la relación “ser equipotente a” no es una relación de equivalencia, sino que tiene todas las propiedades de una relación de equivalencia… claro! Una relación binaria (en un conjunto A) es por definición un conjunto (un subconjunto de A\times A). Pero la relación “ser equipotente a” en dónde va a ser una relación? en el conjunto de todos los conjuntos? 🙂 en todo caso, será una “clase relacional de equivalencia”!)

Así que más o menos eso son los ordinales… No los definí, sólo enuncié algunas propiedades. DEFINICIÓN, me cansé: un ordinal a es un conjunto transitivo (i.e. tal que para todo y,z conjuntos, y\in z\in a \Rightarrow y\in a, o equivalentemente, para todo x conjunto, x\in a \Rightarrow x\subseteq a) tal que está bien ordenado por la relación de pertenencia.

Claro, esta definición es medio fea al comienzo. ¿Por qué? Es como pasa tantas veces en matemática, a veces es mejor definir un objeto por las propiedades que queremos que cumpla, y después probar que existe un único objeto que las cumple. (Me colgué escribiendo sobre esto, y me estaba yendo de tema, así que lo dejo para un post posterior, i.e. para un post(1+erior))

Resulta que para los ordinales se puede hacer esto, y es un approach que me parece sumamente sano, especialmente para cuando uno quiere dar un pantallazo general de qué son los ordinales en un momento que no corresponde, por ejemplo, en una clase de práctico de álgebra.

Axiomas para \mathbb{ON}:

1) \mathbb{ON} es una clase bien ordenada,
2) Cualquier conjunto bien ordenado es isomorfo a un único segmento inicial de \mathbb{ON} ,
3) Todo subconjunto de \mathbb{ON} tiene una cota superior

Teorema: existe \mathbb{ON}. (supongo que es única a menos de “isomorfismo de clases bien ordenadas”, pero esto nunca lo vi. Es lo esperable si el conjunto de arriba es realmente una caracterización de los ordinales). Demostración: sea la clase de los conjuntos transitivos bien ordenados por la pertenencia (como dije arriba), veamos que cumple las propiedades, etc.

Esto no lo inventé yo, lo saqué de un pdf que encontré hurgando en mi carpeta de “lógica y teoría de conjuntos” y me motivó a escribir esto. Voilà:

Transfinite Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated

Lo recomiendo encarecidamente a cualquiera que no tenga idea de los ordinales y quiera saber las ideas básicas. Creo que las primeras tres páginas son las más importantes. (En particular, la forma normal de Cantor es buenísima: así como un número natural se puede escribir de manera única en base cualquier número natural, así cualquier ordinal se puede escribir de manera única en base cualquier ordinal. Si 10 es la base usual para los ordinales finitos, \omega, el primer ordinal infinito, o sea, el conjunto de naturales, es la base usual para los ordinales no necesariamente finitos)

Para terminar, la tan ansiada definición de cardinal. Recordemos que bajo el axioma de elección todo conjunto es bien ordenable, por lo tanto isomorfo a un único ordinal. Esto nos permite definir el cardinal de un ordinal en vez del cardinal de un conjunto, sin perder generalidad.

Definición: el cardinal de un ordinal x es el menor ordinal que es isomorfo a x (existe porque \mathbb{ON} “es un buen orden”!). Un conjunto es un cardinal si su cardinal es sí mismo (si es un punto fijo por la función “cardinal” :))

Los cardinales son “muchos menos” que los ordinales (esto sea dicho de modo intuitivo). \omega es un cardinal. El siguiente cardinal se denota \omega^+: es el primer cardinal no numerable (a veces se nota \Omega; la hipótesis del continuo afirma que \omega^+=\mathcal{P}(\omega)). O sea, el segundo cardinal infinito ya está muy lejos del primero (pensar en todos los ordinales que hay en el medio! \epsilon_0=\sup \{\omega, \omega^\omega,\omega^{\omega^\omega}, \dots\} sigue siendo numerable!)

Sin embargo, también son una clase propia, no un conjunto… ¡paradoja de Cantor! Notamos a la clase de todos los cardinales por \mathbb{CN}.

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