Un polinomio irreducible que es reducible módulo p para todo p

Estoy on fire, la conjunción de tiempo libre + existencia de lectores me motiva a escribir, se ve.
Sea \varphi:R \to S un homomorfismo de anillos; lo extendemos a \varphi:R[X] \to S[X]. Si f\in R[X] es tal que \varphi(f) es irreducible en S[X], entonces f es irreducible en R[X] (pues una factorización de f en R es enviada a una factorización de \varphi(f) en S).

Esto nos da otra manera de verificar que un polinomio es irreducible. Es usual tomar R=\mathbb{Z} y S=\mathbb{Z}_p para algún primo p. Para probar que un polinomio es irreducible en \mathbb{Z}_p se puede utilizar el criterio de Eisenstein general.

Existen sin embargo polinomios en \mathbb{Z}[X] irreducibles que son reducibles módulo p para cualquier primo p, por ejemplo f(X)=X^4-10X^2+1.

Una prueba sencilla de este hecho es la siguiente. Usa el hecho de que en (\mathbb{F}_p)^* el producto de dos elementos no cuadrados es un cuadrado (se deduce fácilmente de que el grupo multiplicativo de un cuerpo finito es cíclico). Sea p primo. Si 2 fuera un cuadrado en (\mathbb{F}_p)^*, entonces:

X^4-10X^2+1 = (X^2-2\sqrt2 X -1)(X^2+2\sqrt2 X -1)

y X^4-10X^2+1 es reducible módulo p. Si 3 fuera un cuadrado en (\mathbb{F}_p)^*, entonces:

X^4-10X^2+1=(X^2-2\sqrt3 X+1)(X^2+2\sqrt3 X +1)

y X^4-10X^2+1 es reducible módulo p. Si ni 2 ni 3 son cuadrados, 6 debe ser un cuadrado en (\mathbb{F}_p)^*, y entonces:

X^4-10X^2+1=(X^2-(5+2\sqrt6))(X^2-(5-2\sqrt6))

y X^4-10X^2+1 es reducible módulo p.

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