Cuerpos reales cerrados

Bueno, ahora que tengo tiempo libre en mis manos hasta que empiecen las clases, encaro a terminar de una vez las notas de álgebra 2 😛

Uno de los Señores libros clásicos de álgebra es el Jacobson (bueno, “los” Jacobson: son tres volúmenes!), y de los pocos que no había siquiera hojeado. Ahora saqué el volumen 1 de la biblioteca y me puse a leerlo (lecturas para antes de irse a dormir!) y me parece que es un librazo. En particular, voy a comentar una cosa que leí anoche. Ya había visto esta noción alguna vez, pero nunca una aplicación tan bonita.

Definición: Un cuerpo ordenado es un cuerpo junto con un orden total \leq que es compatible con las operaciones de cuerpo, de esta manera:
a\leq b \Rightarrow a+c \leq b+c para todo a,b,c,
0 \leq a, 0 \leq b \Rightarrow 0 \leq ab.

Definición: Un cuerpo real cerrado es un cuerpo ordenado F tal que todo elemento positivo de F tiene raíz cuadrada en F y todo polinomio de grado impar en F[X] tiene una raíz en F.

Los reales cumplen esto. Todo elemento positivo tiene una raíz cuadrada gracias al axioma de completitud, y todo polinomio de grado impar tiene una raíz por el teorema de Bolzano (que vale por completitud de los reales).

Los reales son un cuerpo real cerrado, por lejos. La gracia es que en un cuerpo real cerrado tenemos un par de consecuencias de la completitud, pero que son mucho más débiles. Por ejemplo, el cuerpo de números reales algebraicos, i.e. \overline{\mathbb{Q}} \cap \mathbb{R} es un cuerpo real cerrado.

También los números computables forman un cuerpo real cerrado (un número computable es un número real que puede ser computado con precisión arbitraria por un algoritmo finito y que para. Nunca pensé que fuera a encontrarme tan seguido con cuestiones de computabilidad, así que gracias Mauricio por poner teoría de la recursión junto con teoría de conjuntos 😉 )

Hay dos cosas interesantes que quiero comentar sobre estos cuerpos. La primera es la que leí en el Jacobson y por alguna razón no está en la página de la wiki.

Recordemos que una manera de enunciar el teorema fundamental del álgebra es que \mathbb{R}(i) es un cuerpo algebraicamente cerrado.

Teorema: Si R es un cuerpo real cerrado, entonces R(\sqrt{-1}) es un cuerpo algebraicamente cerrado.

Pum. Cuando leí esto me explotó la cabeza. Y me pareció súper razonable. Porque, de hecho, en mis notas de álgebra 2, cuando pruebo el teorema fundamental del álgebra lo hago de la misma manera que lo hace Jacobson en este contexto más general (siguiendo la prueba de Dummit & Foote). Es decir, como lema “analítico” e inevitable, observar que todo número complejo tiene una raíz cuadrada (consecuencia de que todo real positivo la tiene), y observar que todo polinomio de grado tres con coeficientes reales tiene una raíz. Y luego proceder usando Galois y Sylow.

Esa es una aplicación algebraica bonita de esta noción. Ahora, la wikipedia da un puñado de equivalencias de esto que son increíbles. Resulta que esta noción captura todas las propiedades de primer orden que satisfacen los números reales. Recordemos que la lógica de primer orden es la que sólo cuantifica sobre los objetos del dominio de discurso, no sobre fórmulas o conjuntos de objetos.

Proposición: Son equivalentes:

  1. F es un cuerpo real cerrado.
  2. F es elementalmente equivalente a los números reales. En otras palabras, tiene las mismas propiedades de primer orden que los reales: cualquier sentencia en el lenguaje de primer orden de los cuerpos es cierta en F si y sólo si lo es en los reales.
  3. F  no es algebraicamente cerrado pero su clausura algebraica es una extensión finita.
  4. F no es algebraicamente cerrado pero su extensión F(\sqrt{-1}) es algebraicamente cerrada.
  5. Hay un orden en  F que no se extiende a ningún orden en cualquier extensión algebraica propia de F.
  6. Hay un orden en F que hace que F sea un cuerpo ordenado tal que, con este orden, vale el teorema del valor intermedio para todos los polinomios sobre F.

Vemos que la noción de cuerpo real cerrado captura un puñado de propiedades interesantes que cumplen los reales (y su clausura algebraica, los complejos) , que resultan ser todas equivalentes. 

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