Somos bizcos

Recordemos que para que un cuerpo K sea algebraicamente cerrado, debe cumplir (entre otras) las tres siguientes condiciones equivalentes:

1. Todo polinomio en K[X] no constante tiene una raíz en K.
2. Todo polinomio en K[X] se escinde sobre K.
3. K tiene un subcuerpo F tal que la extensión F\subset K es algebraica y todo polinomio no constante en F[X] se escinde sobre K.

La última condición se expresa como K es una clausura algebraica de algún subcuerpo.

Concentrémonos en la tercera condición. Nos dice que para verificar que un cuerpo es algebraicamente cerrado basta verificar que los polinomios de algún subcuerpo de K del cual K es una extensión algebraica se escindan sobre K, i.e. no es necesario verificarlo en todos los de K.

Pero a lo mejor estamos siendo bizcos y poco ambiciosos. La condición 1. nos decía que bastaba verificar que todo polinomio (no constante) de K[X] tuviera una raíz en K. ¿Podemos juntarlo con la tercera condición? Es decir, ¿es cierta la siguiente frase?

Si F\subset K es una extensión algebraica tal que todo polinomio en F[X] tiene una raíz en K, entonces todo polinomio en K[X] se escinde sobre K, i.e. K es algebraicamente cerrado.

A priori no es nada evidente, pues el truco de “bajar por Ruffini” que sirve para demostrar que 1. implica 2. no sirve aquí.

Resulta que  es cierto. Demostrarlo no es sencillo: hay que distinguir si F\subset K es una extensión separable o no. En el caso separable se demuestra usando el teorema del elemento primitivo; en el caso inseparable hay que usar la teoría de extensiones inseparables.

Para los curiosos, es (a la fecha) el teorema 2.91 de la sección “Extensiones inseparables” de mis notas de álgebra 2.

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