El problema de Whitehead

Dado un grupo abeliano A tal que el Ext_1^\mathbb{Z} (A, \mathbb{Z})=0

¿Qué significa esto? Que dado otro grupo abeliano B y un epimorfismo B\to A con núcleo isomorfo a \mathbb{Z}, existe A\to B tal que la composición es id_A. O sea que hay una sola clase de equivalencia de extensiones de A por \mathbb{Z}. O sea que las extensiones de A por \mathbb{Z} son todas equivalentes a la trivial, i.e. la sucesión exacta que generan escinde. En particular A \simeq \mathbb{Z} \times B. Es decir: si quiero rellenar una sucesión exacta corta que empieza con \mathbb{Z} y termina con B, entonces sólo la puedo rellenar con el producto directo de \mathbb{Z} con B. Esto es la hipótesis. Hubiera puesto la sucesión exacta corta pero wordpress no parece admitir xymatrix, así que dejo el código y a quien le interese lo compilará

\xymatrix{0 \ar[r] & \mathbb{Z} \ar[r] & A \ar[r] & B \ar@{.>}@/_-1pc/[l] \ar[r] & 0}

La pregunta es: ¿es A un grupo abeliano libre? Esto se puede demostrar que es cierto para grupos de orden numerable (es un ejercicio de Rotman, An Introduction to Homological Algebra). Uno se pregunta entonces si vale para cualquier grupo.

Éste es el problema de Whitehead: http://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead’s_problem . Lo más sorprendente es que la respuesta… es que Saharon Shelah probó que es indecidible en ZFC. Fue el primer problema de fuera de la teoría de conjuntos que se demostrara indecidible en ZFC.

Edité el post con mucha más información (porque ahora lo entiendo mejor al haber estudiado más (: ) y actualicé la fecha para que no pase desapercibido por la miríada de lectores de este mi querido blog.

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