Teorema de Cayley para anillos

El teorema de Cayley es un teorema simple de enunciar y demostrar pero profundo: todo grupo es un subgrupo de un grupo simétrico. Esto es evidencia de que la teoría de grupos es la teoría de las simetrías, y nos ayuda a concretizar nuestra idea de lo que es un grupo.

La pregunta es si podemos hacer lo mismo con un anillo. Recordemos que con un grupo G, lo que hacíamos era verlo como subgrupo del grupo de permutaciones de elementos de G, i.e. Sym(G). Y bueno, con anillos podemos hacer algo parecido: un elemento de Sym(G) es una biyección de G, si en vez de considerar un grupo consideramos un anillo, en vez de considerar las biyecciones de G vamos a considerar los endomorfismos del grupo aditivo subyacente, que es lo más lógico. (En un primer momento yo pensé que la analogía más lógica de las biyecciones serían los automorfismos de anillos, pero no lo son: el grupo de los automorfismos de un anillo no es un anillo, pues la suma de automorfismos no es un automorfismo. )

Teorema: todo anillo R es un subanillo del anillo de endomorfismos del grupo aditivo de R.

Creo que la esencia de lo que hacemos es lo mismo: si tenemos un grupo, lo miramos como conjunto (nos olvidamos de estrucutra) y consideramos las biyecciones (isomorfismos de conjuntos). Si tenemos un anillo, lo miramos como grupo aditivo (nos olvidamos de estructura) y consideramos los endomorfismos (morfismos de grupos).

Observar que en el primer caso, nos olvidamos de estructura y consideramos los isomorfismos (biyecciones), y si consideráramos todos los morfismos (funciones) no nos quedaría un grupo (no es cerrado por inversas). Y en el segundo caso, nos olvidamos de estructura y consideramos todos los morfismos, no los isomorfismos, y si consideráramos sólo los isomorfismos no nos quedaría un anillo (no es cerrado por la suma).

Lo que pasa en un caso es como inverso de lo que pasa en el otro: en un caso, tenemos que considerar los isomorfismos, porque los morfismos son demasiados; y en el otro caso, si consideramos sólo los isomorfismos nos quedamos cortos.

Bueno, esto fue muy entretenido. Es el tipo de pensamientos categóricos que me divierten mucho.

Ah, comentario. Estos “dos teoremas de Cayley” son un caso particular del gran Lema de Yoneda, que está preciosamente explicado y desmenuzado su sentido filosófico en este artículo de Tom Leinster.

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