“La matemática es más que rigor y demostraciones”

Terry Tao tiene un excelente blog, en el que no sólo publica (mucho) contenido matemático, sino además cosas en general que conciernen a la vida del matemático o del estudiante de matemática.

Una sección que es una joya de leer es la de “career advice“. Hay una entrada en particular que me encanta, que es esta: There’s more to mathematics than rigor and proofs.

Me gusta tanto, y me gustaría tanto que la mayor cantidad de gente lo leyera, que lo traduje al español, por si a alguno en mi legión de lectores le da pereza leer en inglés. Lectura recomendadísima. La negrita en el texto es mía.

Uno puede hacer una división gruesa de la educación matemática en tres etapas:

1. La etapa “pre-rigurosa” en la que la matemática se enseña de una manera informal e intuitiva, basada en ejemplos, nociones difusas, y movimiento de manos. (Por ejemplo, el cálculo se suele introducir primero en términos de pendientes, áreas, tasas de cambio, y así). El énfasis es más en el cálculo explícito que en la teoría. Esta etapa normalmente dura hasta los primeros años de la educación de grado.

2. La etapa “rigurosa”, en la que a uno le enseñan que para hacer matemáticas “correctamente”, se debe trabjar y pensar de una manera mucho más precisa y formal (e.g. rehaciendo el cálculo usando épsilon y delta en todos lados). El énfasis es ahora principalmente en la teoría; y se espera de uno el manejo cómodo de objetos matemáticos abstractos sin enfocarse demasiado en lo que esos objetos “significan” de verdad. Esta etapa normalmente ocupa los últimos años de la educación de grado y los primeros de la de posgrado.

3. La etapa “post-rigurosa”, en la que uno está cómodo con todos los fundamentos formales del área elegida, y ahora está pronto para revisitar y refinar la intuidción pre-rigurosa que tenía en el asunto, pero esta vez con la intuición sólidamente respaldada por la teoría rigurosa. (Por ejemplo, en esta etapa uno sería capaz de realizar cálculos en cálculo vectorial rápida y correctamente usando analogías con el cálculo escalar, o usaría de manera informal y semi-rigurosa los infinitesimales, la notación O-grande, etcétera, pudiendo convertir tales cálculos en un argumento riguroso si la situación lo requiriera.) El énfasis está ahora en las aplicaciones, la intuición, y el “panorama general” (big picture). Esta etapa normalmente ocupa los últimos años de los estudios de posgrado, y de ahí en más.

La transición de la primera etapa a la segunda se sabe traumática, con las temidas “proof-type questions”, la perdición de más de un estudiante de grado. (Ver también: “There’s more to maths than grades and exams and methods“.) Pero la transición de la segunda etapa a la tercera es igual de importante, y no debería ser olvidada.

Es por supuesto de vital importancia que sepas pensar rigurosamente, pues esto te da la disciplina para evitar muchos errores comunes y quitarte ideas falsas. Lamentablemente, esto tiene la consecuencia no deliberada de que el pensamiento “más difuso” o “intuitivo” (como el razonamiento heurístico, la juiciosa extrapolación a partir de ejemplos, o analogías con otros contextos como la física) se menosprecia y tacha de “no riguroso”. Demasiado seguido uno termina desechando la intuición inicial y sólo es capaz de procesar la matemática a un nivel formal, estancándose entonces en la segunda etapa de su educación matemática.

El punto del rigor no es destruir la intuición; al contrario, debería ser usada para destruir la mala intuición al clarificar y elevar la buena intuición. Sólo es con una combinación tanto del formalismo riguroso y la buena intuición que uno puede atacar problemas matemáticos complejos; uno necesita del primero para tratar correctamente con los detalles finos, y de la segunda para tratar correctamente con el panorama general. Sin uno o el otro, estarás mucho tiempo dando tumbos en la oscuridad (lo cual puede ser instructivo, pero de una gran ineficiencia). Entonces una vez que estés plenamente cómodo con el pensamiento matemático riguroso, deberías revisitar tus intuiciones sobre el tema y usar tus nuevas habilidades de pensamiento para poner a prueba y refinar estas intuiciones en vez de descartarlas. Una manera de hacer esto es “ask yourself dumb questions“; otra es “relearn your field“.

El estadio ideal a alcanzar es aquél en que cada argumento heurístico sugiere naturalmente su contrapartida rigurosa, y viceversa. Entonces serás capaz de atacar problemas de matemática usando ambas mitades de tu cerebro a la vez – de la misma manera que ya atacas problemas en la “vida real”.

Ver también:

- Bill Thurston’s article “On proof and progress in mathematics“;
Esta charla por Stephen Fry sobre el fenómeno análogo de que el lenguaje es más que la gramática y la ortografía; y
Las etapas del desarrollo moral de Kohlberg (que indican (entre otras cosas) que la moralidad es más que las costumbres y la aprobación social).

En lo personal, no puedo estar más de acuerdo. Como experiencia personal, creo que el tener que dar clase sobre un tema aprendido años ha es una manera excelente de empezar a tocar la tercera etapa en ciertos puntos.

Yo recuerdo estando en primero hacer muchos ejercicios (de los más teóricos) de cálculo 1 intentando combinar de alguna maneras las hipótesis dadas con los teoremas conocidos para llegar lógicamente a deducir la tesis. Recuerdo también no sentirme del todo satisfecho con esto; al contrario, recuerdo realmente gratificantes los pocos momentos en los que pude “visualizar” primero una prueba intuitiva para luego traducirla a lenguaje formal.

Sea esto dicho como experiencia personal. La otra observación que quiero hacer (que ya la había hecho, pero este texto de Tao es una excusa perfecta para comentarla) es que no deja  de sorprenderme (a priori, sin connotación de ningún tipo) cómo en los EE.UU. la etapa “informal” y “calculista” se prolonga hasta el primer año y medio (por lo menos) de la educación de grado universitaria. Acá por alguna razón ya nos metemos con el análisis riguoroso en primer año, que es un “épsilon-delta fest”.

Tengo mis opiniones al respecto de esto (o más bien, conjunto disperso de observaciones varias), pero soy bastante receloso de ellas porque no me considero lo suficientemente formado como para que tengan algún peso, alguna relevancia de verdad. Pero estoy dispuesto a discutirlo con quien tenga interés y ganas.

Esta entrada anterior de este propio blog está muy relacionada.

Esta entrada fue publicada en filosofia de la matemática. Guarda el enlace permanente.

Una respuesta a “La matemática es más que rigor y demostraciones”

  1. Guillermo dijo:

    Muy interesante la nota. Esas etapas son muy razonables en la carrera de un matemático. Y es verdad: la intuición es prácticamente una moneda con dos caras, puede encarrilarnos bien (ver la luz del asunto) como mal (“…estarás mucho tiempo dando tumbos en la oscuridad…”), y es allí donde debe entrar el formalismo a hacer lo suyo, tratando de clasificar todo aquel pseudo contenido que invade nuestra cabeza al momento de pensar, y poder optar por la correcta.

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